Afino preslikavanje u prostoru

#fax #math #geom [deo poglavlja "afino preslikavanje"]

Afino preslikavanje u sa reperom je dato formulom
za ,

gde su


Predstavljanje jednom matricom

Translacija u

Translacija za vektor

analogno sa translacijom u

Rotacija u

afina preslikavanja 2 geo.png
Rotacija oko usmerene prave za ugao .
Ako je pozitivan rotiramo pomoću pravila desne ruke (palac u smeru usmerene prave, tada prsti u pesnici pokazuju smer rotacije).

Rotacija tačke oko prave u prostoru se svodi na rotaciju u ravni koja je normalna na i koja sadrži oko tačke u preseku i .

Rotacija oko ose za ugao


afina preslikavanja 3.1 geo.png

Rotacija oko ose za ugao


afina preslikavanja 3.2 geo.png

Objašnjenje:
pri rotacije oko druga koordinata se ne menja tj. , ostale koordinate se dobijaju rotiranjem u ravni ili njoj paralelnoj za ugao oko koordinatnog početka:
je pozitivna baza gledajući sa i jer rotiramo od ka imamo

Rotacija oko ose za ugao


afina preslikavanja 3.3 geo.png

Formula Rodrigeza

Teorema. Matrica rotacije za ugao oko prave koja sadrži koordinatni početak u pozitivnoj bazi je
,
gde je jedinični vektor pravca prave ,
je matrica vektorskog množenja sa nekim vektorom


Formiramo matricu




Rotacija oko prave koja sadrži tačku i paralelna je pravoj :

Refleksija u

Teorema. Matrica refleksije u odnosu na ravan koja sadrži koordinatni početak u pozitivnoj bazi je
,
gde je jedinični vektor normale na ravan

Rotacija u odnosu na ravan koja sadrži tačku i paralelna je ravni :

Prva Ojlerova teorema

Teorema. Svako kretanje u sa fiksnom tačkom je rotacija za ugao oko neke prave koja sadrži .

Objašnjenje:
kretanje: i

su sopstvene vrednosti od .

...
Bar jedna sopstvena vrednost je jednaka .
Odakle, iz jednakosti imamo ,
tj. je vektor koji se ne menja pri rotaciji, što znači da je takvo kretanje rotacija oko prave koja sadrži i čiji je vektor pravca .

Tražimo iz sistema zadatog

Tražimo :
treba preslikati neki vektor koji je ortogonalan na (na primer jedna od vrsta od matrice ) u vektor . Koristeći skalarni proizvod dobijamo . Znak određujemo tako što tražimo pozitivnost trojke : ako je pozitivna traženi ugao je , ako je negativna — .

Druga Ojlerova teorema

Teorema. Svako kretanje u koje čuva koordinatni početak moguće predstaviti kao tri sopstvene (u odnosu na sopstveni koordinatni sistem ali sa istim koordinatnim početkom) rotacije.


gde je os posle prve rotacije; je os posle dve rotacije.

Tejt-Brajanoni uglovi:

afina preslikavanja 4 geo.gif

U svetskom sistemu:

Kvaternion