Afino preslikavanje u ravni

#fax #math #geom [deo poglavlja "afino preslikavanje"]

Afino preslikavanje u sa reperom je dato formulom
za , (2)

gde su

Teorema. Postoji jedinstveno afino preslikavanje koje preslikava tri nekolinearne tačke u tri nekolinearne tačke

Teorema (Osobine afinih preslikavanja ravni).

  1. Preslikavaju prave u prave
  2. Čuvaju paralelnost pravih
  3. Čuvaju odnos dužina kolinearnih duži
  4. Odnos površina slike i originala
  5. Čuvaju centar mase i baricentričke koordinate
  6. čuva se orijentacija trouglova
    menja se orijentacija trouglova

Predstavljanje matricom

Afino preslikavanje u dato formulom (2) možemo predstaviti matricom

(2)

Teorema. Proizvod matrica oblika odgovara kompoziciji afinih preslikavanja.

Translacija u

Translacija za vektor

Translacija ne utiče na vektore.
Translacije komutiranju i kompozicija translacija je translacija:

Rotacija u

  • rotacija oko koordinatnog početka za ugao :

  • rotacija oko tačke za ugao :


Svojstva:

je grupa (svih rotacija).

Refleksija u

  • refleksija u odnosu na pravu koja prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao sa (osom ):

  • refleksija u odnosu na pravu koja prolazi kroz i gradi ugao sa (osom ), tj. :


Svojstva:

Rotacije i refleksije čine ortogonalnu grupu:

Refleksija kao kompozicija rotacija i skaliranja:

, gde je jedinični vektor normale na .

Tj. ako nije jedinični tada je jedinični.
Odakle

Skaliranje u

  • skaliranje u odnosu na koordinatni početak:

  • skaliranje u odnosu na tačku :


Specijalni slučajevi:

Ako , pišemo i kažemo da je takvo preslikavanje homotetija.

Smicanje u

  • Smicanje sa koeficijentom u odnosu na vektor :

afina preslikavanja 1 geo.png

  • Smicanje sa koeficijentom u odnosu na vektor :

Rotacija pomoću tri smicanja: