Analitička geometrija u prostoru

#fax #math #geom [deo geometrije]

Ravan

  • Implicitna jednačina
    — nije jedinstvena (moguće pomnožiti sa )
    je normalni vektor na ravan

    normalizovana je ako je normalni vektor jedinični:
    — jedinstvena do na znak, tj. na smer vektora normale.

  • , gde je , normalni vektor.



  • Parametarska jednačina
    , su dva nekolinearna vektora paralelna ravni .



Neka je implicitna jednačina ravni . Tada
i su sa iste stane od

Prava

  • Parametarska jednačina
    , vektor pravca prave .




  • Kanonska jednačina

  • Kao presek dve ravni






    prebacivanje u parametarsku:
    izrazimo dve koordinate preko treće, na primer:
    odakle dobijamo

Pramen ravni

Teorema. Skup svih ravni koje sadrže pravu , je dat jednačinom:

Uzajamni položaj pravih


  • Poklapaju se:

  • Paralelne:

  • Seku se:

  • Mimoilazne:

Algoritam određivanja uzajamnog položaja pravih i :

  1. Ako važi onda su mimoilazne
  2. Inače, ako važi onda se seku
  3. Inače, ako onda se poklapaju u suprotnom su paralelne

Uzajamni položaj prave i ravni


  • Prava leži u ravni:

  • Paralelne:

  • Prava seče ravan:

Rastojanja i uglove

Stav. Rastojanje tačke od prave je

Dokaz: Neka je
Površinu paralelograma određenog sa i možemo naći na dva načina: . Odakle sledi tvrđenje.


Stav. Rastojanje tačke od ravni je

Dokaz je sličan dokazu za rastojanje tačke od prave u ravni


Stav. Rastojanje među mimoilaznih pravih i je

Stav. Ugao među pravih i je
š

Stav. Ugao među prave i ravni je
š


Stav. Ugao među ravni i je
š

Projektovanje

Stav. Projekcija tačke na ravan koja prolazi kroz koordinatni početak je tačka , takva da , gde je jedinični vektor normali na ravan .
Odakle, projektovanje na ravan je afino preslikavanje prostora.

Dokaz:

Skalarno množimo sa :

— Neka je i . Tada

Prodor prave kroz trougao

Stav. seče trougao

Tada



Konačno,