Beskonačnodimenzioni Euklidski prostor. Niz i red vektora

#fax #math #a2 [deo analize i poglavlja "unitarni i Euklidski prostor"]

Def. Neka je Euklidski prostor i neka . Tada je niz vektora Euklidskog prostora .

Def. Neka je niz vektora Euklidskog prostora . Niz konvergira ka vektoru ako za niz realnih brojeva važi
tj.

Def. Niz vektora u Euklidskom prostoru je Košijev niz ako

Def. Ako svaki Košijev niz u Euklidskom prostoru konvergira onda je Hilbertov prostor.

Def. Neka je niz vektora Euklidskog prostora . Tada se red generisan nizom definiše kao zbir svih elemenata niza :

Ako , onda red konvergira i jednak je , inače divergira.

Def. Neka je beskonačnodimenzioni Euklidski prostor (sa skalarnim proizvodom ) i neka je niz vektora u . Ako elementi skupa čine ortonormirani sistem vektora (tj. ortogonalni skup jediničnih vektora) u , onda je niz vektora ortonormirani niz vektora u prostoru (baza od ).

Def. zovu se Furijeovi koeficijenti vektora u odnosu na ortonormirani niz .

Def. Red vektora naziva se Furijeov red vektora u odnosu na ortonormirani niz vektora .

Teorema (Beselova nejednakost). . je ortonormirani niz vektora u prostoru . Tada (i red konvergira).

Posledica. Za važi

Lema. . Ako i , onda

Teorema. Sledeći iskazi su ekvivalentni.

Ako je tačan jedan od iskaza (a samim tim i sve) onda je niz potpun ortonormiran niz.