Bilinearna i kvadratna forma

#fax #math #laag [deo linearne algebre]

Bilinearne forme

Def. Neka je vektorski prostor nad poljem . Tada preslikavanje je:

  • bilinearna forma na ako
    važe
    • (BF1)
    • (BF2)

  • hermitska bilinearna forma na ako
    važe
    • (BF1)
    • (BF3')
    • iz BF1 i BF3' sledi:
      (BF2')

  • simetrična bilinearna forma na ako
    važe
    • (BF1)
    • (BF3)
    • iz BF1 i BF3 sledi BF2 (koje u se podudara sa BF2')

Primeri bilinearnih formi

Matrica bilinearne forme

Napomena: koordinatizacija, hermitsko konjugovanje

Teorema. Neka je baza VP-a

  • je matrica bilinearne forme u bazi ako važi:

  • je matrica hermitske bilinearne forme u bazi ako važi:

Teorema. Neka je hermitska bilinearna forma na unitarnom prostoru . je matrica u bazi , je matrica u bazi . Tada važi
, gde je matrica prelaska sa u .

Tada su i kongruentne.

Def. Rang hermitske bilinearne forme je rang njegove matrice u proizvoljnoj bazi.

Kvadratne forme

Def. Neka je vektorski prostor nad poljem . Tada preslikavanje definisano sa je:

  • kvadratna forma na ako je simetrična bilinearna forma.
  • hermitska kvadratna forma na ako je hermitska bilinearna forma.

Stav. je VP nad . Za kvadratnu formu važi:

Stav. je VP nad . Za hermitsku kvadratnu formu važi:

Teorema. je VP nad poljem

  • . Simetrična bilinearna forma je određena odgovarajućem kvadratnom formom :


  • . Hermitska bilinearna forma je određena odgovarajućem hermitskom kvadratnom formom :

Primedba:

  • Svakoj simetričnoj kvadratnoj matrici možemo pridružiti kvadratnu formu def. sa
  • Svakoj kvadratnoj matrici za koju važi možemo pridružiti hermitsku kvadratnu formu def. sa

Važi i obratno: svakoj kvadratnoj formi možemo pridružiti simetričnu matricu (odnosno matricu za koju važi ), za koju važe navedene jednačine.


Def. je VP nad . (Hermitska) kvadratna forma je

  • pozitivna ako važi
  • strogo pozitivna ako važi ,
  • negativna ako važi
  • strogo negativna ako važi ,
  • promenljivog znaka ako


Stav. Neka je simetrična matrica i neka su
glavni minori matrice . Tada,
1. je strogo pozitivna akko
2. je strogo negativna akko

Primedba: Skalarni proizvod je hermitska bilinearna forma, kojoj odgovara strogo pozitivna hermitska kvadratna forma.

Hermitska bilinearna forma u unitarnom prostoru

Teorema. je unitaran prostor. je hermitska bilinearna forma — hermitski operator takav da