Binomna formula

#fax #math #ds2 [deo kombinatorike]

Teorema (Binomna formula). . Tada

Posledice:

Specijalni slučaj za celobrojne koeficijenti

  • Za važi
    (*)

Lema. . Koeficijent uz u je

Dokaz:

Pitanje je na koliko načina možemo izabrati po jedan sabirak iz svakog faktora tako da proizvod bude
Neka je stepen sabirka izabranog iz -toj faktora.
Tada zadatak se svodi na pronalaženje svih rešenja jednačine u skupu .
Rešiti jednačinu znači rastaviti granicu (granica je znak +) između markera.
To moguće uraditi na načina. (**)

Lema. . Koeficijent uz u je

Dokaz: smena

Iz prethodne leme koef. uz je
, znači koef. uz je koef. uz pomnožen sa
tj. koef. uz je (***)

Teorema (Specijalni slučaj binomne formule za celobrojne koeficijenti).
. Tada

Dokaz:
— binomna formula
— iz prethodne leme