Brojevni red

#fax #math #a2 [deo analize]

Def. Neka je niz realnih brojeva. Tada se brojevni red generisan nizom ili brojevni red sa opštim članom definiše kao zbir svih elemenata niza :

je parcijalna suma reda.
je niz parcijalnih suma reda.

Ako , onda red konvergira i jednak je , inače divergira.

Stav. Neka je niz brojeva. Tada

Stav. Neka su i nizovi brojeva. Tada

Napomena: ako nizovi nisu nenegativni onda zbir može i da konvergira.

Teorema. Neka je niz brojeva. Tada

Dokaz:
Neka je

Parcijalna suma:
Odakle,

Napomena: često se koristi kontrapozicija teoreme (za dokazivanje divergencije).

Apsolutna i uslovna konvergencija

Def. Red konvergira apsolutno ako konvergira.

Stav. Ako red konvergira apsolutno tada on konvergira.

Dokaz: tvrđenje sledi iz stava uzimajući

Def. Red konvergira uslovno ako on sam konvergira a red divergira.

Teorema. Neka konvergira apsolutno. Ako je proizvoljna bijekcija (tj. permutacija ) onda konvergira apsolutno.

Teorema (Rimanova). Neka konvergira uslovno. Tada bijekcija

Kriterijumi konvergencije

Konvergencija nekih brojevnih redova

Brojevni red kao skalarni proizvod na Euklidskom prostoru nizova brojeva

Neka je Eukludski prostor svih nizova brojeva takvih da važi konvergira za . Tada je skalarni proizvod u .

Odakle za važe:

(*)
(*)