Dejstvo grupe

#fax #math #alg [deo poglavlja "grupa"]

Def. Neka je grupa, a je skup. Dejstvo grupe na skupu je funkcija za koju važi:

Skraćeno zapisujemo kao , tada uslovi se zapisuju kao

Napomena: ne treba mešati (dejstvo) sa operacijom u grupi!


Def. Neka grupa dejstvuje na .

  • Orbita elementa je
  • Stabilizator elementa je
  • Skup svih fiksnih tačaka elementa je .

Važi

Primer 1: Neka je , . Tada je sa

zadato dejstvo na .

Pokažemo da je to zapravo dejstvo.
je neutral, jer važi , zadovoljen je prvi uslov.
Za drugi uslov proveravamo sve mogućnosti:



Nađemo i orbitu proizvoljnog elementa:

Primer 2: Neka je grupa, . Tada sa
nije definisano dejstvo na ,
jer u opštem slučaju

Primer 3: Neka je grupa, . Tada je sa
dato dejstvo na .

Primer 4: Neka je grupa, . Tada je sa
dato dejstvo na .

Primer 5: Neka je grupa, . Tada je sa
zadato dejstvo na .

Pokažemo da je to zapravo dejstvo.
Prvi uslov:
Drugi uslov:

Orbite su klase konjugacije grupe , a stabilizator je centralizator .


Stav. Neka grupa dejstvuje na . Tada

  • ;
  • postoji bijekcija između i .

Dokaz:
Prvo tvrđenje.
Iz definicije dejstva i stabilizatora
Za , važi
imamo,

Pomoću stava dobijamo

Drugo tvrđenje.
data sa
Pokazati da je bijektivna funkcija:
funkcija. Neka , tada
tj. , ,
,
"na". Jeste po def.
"1-1". Pretpostavljamo ;
odakle postupkom obratnim od postupka u kojem
je dokazano da je fja dobijamo da


Posledica (prethodnog stava i Lagranžove teoreme). Neka grupa dejstvuje na . Tada

Napomena: Dokaz Košijeve teoreme


Stav. dejstvuje na . i su iz iste orbite. Tada

Stav. dejstvuje na . su konjugovani. Tada postoji bijekcija između i .

Teorema. Konačna grupa dejstvuje na konačnom skupu . Tada je broj različitih orbita jednak .

Dokaz: Označimo broj različitih orbita . .

Neka je .
Tada

Odakle, ;

dalje,

za i iz iste orbite. Izabraćemo , tada
(*)
Odakle sledi tvrđenje.