Determinanta

#fax #math #laag [deo poglavlja "matrica"]

Napomena: grupa permutacija

Def. Determinanta je funkcija def. sa

Oznaka:

Stav.

  1. Vrsta/kolona matrice sastoji od nula
  2. Dve vrste/kolone matrice su proporcijalne
  4. je trougaona

Lema. su kvadratne matrice takve da . Tada

Teorema.
svojstva za vrste (za kolone su analogne):


  1. — množenje vrste skalarom




  3. — zamena dve susedne vrste

Posledica.

  1. Zamena mesta dve vrste se svodi na neparan broj zamena susednih vrsta, tj. zamena mesta dve vrste menja znak determinante.

Elementarne transformacije i determinanta

Svojstva 1. i 3. iz teorema i 2. iz posledice se mogu realizovati množenjem sa elementarnim matricama sa leva (vrste) i sa desna (kolone).

Stav. — elementarna matrica. Tada

Teorema (Bine-Košijeva).

Teorema. .
je invertibilna

Laplasov razvoj

Def. Minora je determinanta matrice, koja se dobija izbacivanjem -te vrste i -te kolone iz matrice .

Def. Kofaktor elementa matrice je broj

je matrica kofaktora matrice .

je adjungovana matrica matrice .

Teorema (Laplasov razvoj).

  • Razvoj po -toj vrsti:

  • Razvoj po -toj koloni:

Lema.



Posledica.

Iz teoreme i leme:




Determinanta Vandermonda