Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

#fax #math #a3 [deo analize]

Napomena: diferencijabilnost fje jedne promenljive: *, *

Diferencijabilnost funkcije

Def. Neka su , , .
je diferencijabilna u ako postoji linearno preslikavanje takvo da

Preslikavanje se zove diferencijal (izvod) fje u tački i označava se sa ili


Stav. Neka su , , .
Ako je diferencijabilna u onda

Dokaz: Neka je .

Iz :
jer je proizvoljno, suzimo ga do , pri tome važi



Posledica. Neka su , , .
Ako je diferencijabilna u onda
tj. važi

Dokaz: iz prethodnog stava

Napomena: (veza sa gradijentom)

Napomena: Tražimo diferencijal tako što prvo nalazimo sve parcijalne izvode (ako neki parcijalni izvod ne postoji ne postoji i diferencijal).
Zatim konstruišemo matricu iz posledice, pa ako postoji limes onda jeste diferencijal.


Stav. je diferencijabilna u je neprekidna u .

Dokaz: iz diferencijabilnosti u sledi da postoji preslikavanje takvo da
ili drugačije
odakle tj.


Teorema (dovoljni uslov diferencijabilnosti). Ako ima sve parcijalne izvode na , i svaki od njih je neprekidan u onda je diferencijabilna u

Dokaz: Pokazati da

Razmotrimo brojilac u limesu — oduzimamo i dodajemo iste članove:

Što dobijamo iz Lagranžove teoreme za fje jedne promenljive,
pri čemu je između i

Iz posledice imamo

Odakle jer su parcijalni izvodi neprekidni važi
Odakle,

Time iz teoreme o tri limesa dobijamo da je limes jednak .

Ekstremum

Diferencijabilnost funkcije

Def. Neka su , , .
je diferencijabilna u ako postoji linearno preslikavanje takvo da

gde je vektor fja , takva da


gde je linearno preslikavanje (-ta vrsta matrice ).

Preslikavanje se zove diferencijal (izvod) fje u tački i označava se sa ili . Pri tome matricu tog preslikavanja zovemo Jakobijevom matricom, a determinantu te matrice jakobijanom.

Iz posledice i dobijamo da

Primedba. Neka su , , .
Ako je linearno preslikavanje onda


Stav (diferenciranje složene fje). Neka su , otvoreni skupovi i neka su , . , . Tada
ako je diferencijabilna u i je diferencijabilna u onda je diferencijabilna u i važi:

Dokaz:

(jer je neprekidna)

Odakle,


Stav (diferenciranje inverzne fje). Neka su , , , . I neka je inverzna od na . Tada ako su i diferencijabilni onda važi

Dokaz: Iz prethodne teoreme:
uzimamo i imamo
Zbog toga što je koristeći primedbu dobijamo da .
Dakle,