Diferencijalna jednačina

#fax #math #a3 [deo analize]

Def. Diferencijalna jednačina je jednačina u kojoj je nepoznata funkcija , a u kojoj se pojavljuju izvodi funkcije ;

  • ako je funkcija jedne promenljive, tada se diferencijalna jednačina naziva običnom;
  • ako je funkcija više promenljivih (pa se u jednačini pojavljuju parcijalni izvodi), tada se diferencijalna jednačina zove parcijalnom.

Def. Red diferencijalne jednačine je red najvećeg izvoda koji se u njoj pojavljuje.

Obična diferencijalna jednačina reda , u kojoj je nepoznata fja , ima oblik .
Ali češće ima oblik

Rešiti (naći opšte rešenje) diferencijalnu jednačinu znači odrediti sve funkcije koje je zadovoljavaju.

DJ prvog reda (neki slučajevi)

Naći sva rešenja jedačine

Ako za dati tražimo neko rešenje koje zadovoljava i jednačinu i uslov , onda se takav problem zove Košijev problem.

Razdvajanje promenljivih

uz proveru da li jeste ili nije rešenje

Linearna DJ prvog reda (LDJ1)

  • množimo jednačinu sa takvim da levi deo jednačine bude oblika ,
    tj.
    (biramo bilo koju primitivnu od )
  • Sad imamo

    (tu je bitna konstanta pri rešavanju integrala)

Bernulijeva DJ

(ima smisla razlikovati za )
( je uvek rešenje za )

Množimo sa :
Smena , tada
jednačina postaje
odakle dobijamo LDJ1 po :

Totalni diferencijal

Ako postoji takva da i
onda
tj. tada je implicitno rešenje date jednačine

Napomena:
Pomnožimo polaznu jednačinu sa
Imamo,
Izraz sa leve strane jednačine zove se totalnim diferencijalom.

Ako postoji , koje zadovoljava i i koje je dva puta neprekidno diferencijabilna, treba da važi , a samim tim i (nužni uslov postojanja rešenja).

Smena

Smena , tada
jednačina postaje
dobijamo jednačinu , koju rešavamo razdvajanjem promenljivih

Smena

Smena , tada
jednačina postaje
dobijamo jednačinu , koju rešavamo razdvajanjem promenljivih

Linearna DJ višeg reda (LDJ)

Def. Linearna DJ je jednačina oblika
Ako je , onda je LDJ homogena.

Homogena LDJ

Teorema. Skup rešenja homogene LDJ čine -dimenzioni vektorski prostor. je baza tog prostora akko
— je rešenje jednačine
—
(determinanta Vronskog nije jednaka )

Def. Baza prostora rešenja homogene LDJ zove se fundamentalni sistem rešenja homogene LDJ.

Ako je fundamentalni sistem rešenja, onda su sva rešenja homogene LDJ oblika

Homogena LDJ sa konstantnim koeficijentima

Neka je rešenje jednačine, tad
ubacujemo u jednačinu
podelimo sa , dobijamo karakterističnu jednačinu

Znamo da ova jednačina ima nula (uključujući kompleksne i ponavljajuće).

  1. Realna nula pojavljuje puta, tad su odgovarajuća rešenja

  2. Par kompleksno-konjugovanih nula pojavljuje puta, tad su odgovarajuća rešenja


Ako su tako dobijana rešenja, onda su sva rešenja oblika

Nehomogena LDJ sa konstantnim koeficijentima

Stav. Neka je neko (konkretno) proizvoljno rešenje ove jednačine.
je rešenje ove jednačine akko je rešenje odgovarajuće homogene LDJ

Dokaz: značimo levi deo jednačine sa , jasno je da je linearna po .
je rešenje ove jednačine
š
je rešenje odgovarajuće homogene LDJ


Stoga, rešenje nehomogene LDJ je oblika
, gde je rešenje odgovarajuće homogene LDJ, a je bilo koje konkretno rešenje nehomogene LDJ.

Tražimo :

  • Ako , gde je polinom stepena i je -struka nula ( ako nije nula) karakteristične jednačine odgovarajuće homogene LDJ.
    Tada , polinom se dobija ubacivanjem u polaznu DJ.
  • Ako , gde su i polinomi stepena najviše i je -struka nula ( ako nije nula) karakteristične jednačine odgovarajuće homogene LDJ.
    Tada , polinomi i se dobijaju ubacivanjem polaznu DJ.