Diofantova jednačina

#fax #math #ds1 [deo poglavlja "celi brojevi"]

Def. Diofantova je jednačina sa celobrojnim koeficijentima, u kojoj treba naći sva rešenja u


  • Ima jedinstveno rešenje , ako (inače nema rešenja)

  • Treba naći sve parove da bi važila jednačina:

tada (iz posledice Euklidovog algoritma)

Stav. ima rešenja akko

[]
Ako , tada
Pomnožimo jednačinu sa :

Odakle imamo jedno rešenje:

[]
Ako rešenje
, tada i

Potražimo sva rešenja jednačine:
imamo jedno rešenje
važi

Tada je isto što i


Vratimo to u jednačinu:


Opšte rešenje jednačine:

gde su , brojevi iz posledice Euklidovog algoritma za i (tj važi )

Primer