Direktan proizvod grupa

#fax #math #alg [deo poglavlja "grupa"]

Def. Neka su grupe. Direktan proizvod ovih grupa je dat sa:

jeste grupa:

  • asocijativnost sledi direktno
  • neutral
  • inverz

Stav. Grupa je ciklična akko .

Dokaz:
Neka je . Neka je .

Neka je proizvoljni.


Odakle,
Svaka grupa generisana sa ima elemenata, a ima , stoga nije ciklična.

Neka je . Neka je .
Pokazati da , tj da je

Jer je , dobijamo .
Dakle, , jer (red elementa grupe manje ili jednak redu grupe).

Napomena:

Napomena: Ako su par po par uzajamno prosti. Tada


Stav. Neka je grupa. takvi da
—
—
—
Tada .

Dokaz:
Definišemo sa

je "na" jer

pp da , tj. ,
dalje, , stoga jer je levi deo jednačine iz , a desni iz na osnovu važi
je "1-1".

Konačno, je izomorfizam grupa i .

Primer: