Direktan proizvod prstena

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Def. Neka su komutativni prsteni sa jedinicom. Direktni proizvod ovih prstena je je dat sa:

jeste komutativan prsten sa jedinicom

.

Napomena: kongruencije

Stav. Neka su takvi da . Tada

Dokaz:
Definišemo homomorfizam sa

Nađemo , tj. sve za koje važi
Stoga, , jer su uzajamno prosti.

Dobili smo da
Jasno je da je "na".

Koristeći teoremu o izomorfizmu indukuje izomorfizam
detaljnije

Posledica. Neka su par po par uzajamno prosti brojevi i neka . Tada takav da
.
Ako je neki drugi broj koji zadovoljava taj sistem, onda

Stav. Važi . (*)

Dokaz: Neka . Tada

Teorema. Neka su par po par uzajamno prosti brojevi. Tada

( je Ojlerova fja)

Dokaz: prvo tvrđenje sledi iz stava i stava;
drugo iz stava, stava i činjenice .