Dvostruki integral

#fax #math #a3 [deo analize]

Podela pravougaonika

Def. Neka su i . Skup pravougaonika je podela pravougaonika .

Zadavanje podele je ekvivalentno zadavanju skupa tačaka
je parametar podele
— skup svih podela pravougaonika .

. Tada su
istaknute tačke podele .

Def. — podela sa istaknutim tačkama pravougaonika

Površina skupa u

Neka je ograničen (tj. )
Neka je , gde je $č$
Tada je površina skupa jednaka ako

Definicija i svojstva dvostrukog integrala na pravougaoniku

Def. Neka je i podela sa istaknutim tačkama pravougaonika . Zbir je integralna suma.

Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
$č$

Tada je dvostruki integral fje na .

Ako postoji dvostruki integral (odnosno limes), je integrabilna na ().

Napomena: svojstva određenog integrala

Stav. Ako nije ograničena na onda

Teorema. je ograničena i njen skup tačaka prekida je površine nula. Tada

Teorema (Fubinijeva na pravougaoniku). Neka je neprekidna (). Tada važi:
je neprekidna na za fiksirano
je neprekidna na za fiksirano
je neprekidna na
je neprekidna na
i važi

Definicija i svojstva dvostrukog integrala na proizvoljnom merljivom skupu

Def. Skup je merljiv ako je površina njegovog ruba jednaka nuli, .

Karakteristična funkcija merljivog skupa , je integrabilna.

Def. Neka je merljiv i je integrabilna na , tada je integrabilna na i važi

Napomena:
možemo definisati i drugačije: kao kombinaciju 1 i 2.
.
$č$

Stav. ; . Tada i važi

Stav. ; . Tada

Stav. , , . Tada

Dokaz:

Stav.

, , . Tada
. Tada

Teorema (Fubinijeva na oblasti). Neka je neprekidna i

neka je . Tada važi
neka je . Tada važi

Dokaz: pokažemo prvo tvrđene, drugo je analogno.
, gde je .

Jer za i za (pri fiksiranom ) važi

Smena promenljivih

Teorema (opšta smena). Neka smena slika merljiv skup u merljiv skup , ima sve parcijalne izvode na , ima sve parcijalne izvode na i . Tada

Teorema (polarna smena). Neka polarna smena
slika merljiv skup u merljiv skup , . Tada

Dokaz:

Definišemo podelu merljivog skupa na manje merljive skupove koji se seku po svojim granicama.
Parametar takve podele:

Neka je , presek isečka i kružnog prstena u koji upada .
— podela , pri čemu

Površina je jednaka
uz oznake i

Biramo istaknute tačke:

$č$

Iz napomene je jasno da

Sa druge strane u normalnim koordinatama imamo