Ekstremum funkcije više promenljivih

#fax #math #a3 [deo poglavlja "diferencijabilnost"]

Napomena: Ekstremum funkcije jedne promenljive


Def. , , ,
ima u ako :


Teorema (nužni uslov lokalnog ekstremuma).
ima lokalni ekstremum u .
Tada

Dokaz: Neka je lokalni maksimum. Tada .
Tada specijalno za svako , gde je takvo da .
Imamo da fja jedne promenljive ima lokalni maksimum u
Iz Fermaove teoreme:


Def. Tačka za koju važi zove se kritična tačka.


Teorema (dovoljni uslov lokalnog ekstremuma). Neka ima sve parcijalne izvode do reda 3 u nekoj i neka . Neka je kvadratna forma, koja je pridružena matrici drugog izvoda u . Tada

Dokaz: Razvijamo u Tejlorov polinom drugog stepena u okolini :

Odakle,

— skup svih jediničnih vektora
Zbog toga što je neprekidna, a je kompaktan, dobijamo da i

  • Pretpostavljamo da je strogo pozitivna, tada i imamo

    tj.
  • Pretpostavljamo da je strogo negativna, tada i imamo

    tj.
  • Pretpostavljamo da je promenljivog znaka,
    tj.
    Neka je ,
    Tada,
    Odakle,
    tj. u svakoj -okolini tačke postoje i takve da i , tj. nije ekstremum.

Napomena: dokazivanje pozitivnosti/negativnosti kvadratne forme


Def. Ako je kritična tačka , ali u svakoj njenoj okolini postoje tačke u kojima uzima i veće i manje vrednosti od , onda je sedlo.

Uslovni ekstremum

Def. Neka je definisana na , a je zadat pomoću sistema jednačina . Funkcija ima uslovni lokalni ekstremum na skupu u tački ako ima lokalni ekstremum u .


Teorema. Neka je skup zadat pomoću sistema jednačina , pri tome fja je diferencijabilna za i skup vektora je linearno nezavisan za . Neka je diferencijabilna na nekom otvorenom skupu takvom da i neka je lokalni ekstremum fje . Tada

(Brojeve se nazivaju Lagranžovi množioci)

Dokaz: razmotrimo dva osnovna slučaja, koje je moguće generalizovati.

  • Slučaj — površ u prostoru.

Neka je površ data jednačinom ; linearna nezavisnost skupa za daje da , tj je regularna površ.
Neka je tačka lokalnog ekstremuma fje i neka je regularna kriva na površi takva da .
Zbog toga što leži u i je ekstremum na , dobijamo da je ekstremum fje , odakle .

Iz stava,
tj.
Iz stava

Odakle,

  • Slučaj — kriva u prostoru.

Neka je kriva data sa tj. kao presek dve površi; skup je linearno nezavisan za odakle vidimo da je presek dve regularne površi, tj. jeste regularna kriva, koju parametrizujemo sa .
Neka je tačka lokalnog ekstremuma fje i neka važi . Tada je ekstremum fje , odakle .

Iz stava,
tj.
Iz stava
Odakle, su linearno zavisni, tj.

Napomena:
Neka je

Uslove
možemo zameniti uslovom , gde je
def. sa