Furijeov red u prostoru C₀

#fax #math #a2 [deo poglavlja "funkcionalni red" i "prostor C₀"]

Def. Neka su i nizovi realnih brojeva. Tada funkcionalni red naziva se trigonometrijski red.

Napomena: ako navedeni red konvergira/divergira u tada on konvergira/divergira i u .
Zbog toga dovoljno je ispitivati konvergenciju u nekom intervalu dužine , na primer .


Stav. Neka trigonometrijski red ravnomerno konvergira ka funkciji na intervalu . Tada


Def. Trigonometrijski red formiran pomoću i dobijenih u prethodnom stavu se naziva Furijeov red funkcije na intervalu ili -periodične funkcije na skupu .

Nizovi i su Furijeovi* koeficijenti (stvarni Furijeovi koeficijenti).

Furijeov red -periodične funkcije je

Sinusni Furijeov red funkcije jeste Furijeov red funkcije
definisane sa

Kosinusni Furijeov red funkcije jeste Furijeov red funkcije
definisane sa

Konvergencija i svojstva Furijeovog reda

Teorema (dovoljni uslov konvergencije Furijeovog reda).
Neka je deo po deo glatka tj. funkcija i neka su i Furijeovi* koeficijenti funkcije . Tada

tj. ako još važi onda Furijeov red funkcije konvergira ka .


Posledica. Neka je neprekidna −periodična funkcija koja je deo po deo glatka na intervalu i neka su i Furijeovi* koeficijenti funkcije . Tada

Teorema (Parsevalova jednakost).
Neka je i neka su i Furijeovi koeficijenti funkcije . Tada

Teorema. . Tada

  • Furijeov red funkcije konvergira toj funkciji u srednjem.
  • ako su svi Furijeovi koeficijenti funkcije jednaki onda je .
  • ako funkcije i imaju jednake odgovarajuće Furijeove koeficijente onda je .

Teorema (dovoljni uslov apsolutne i ravnomerne konvergencije Furijeovog reda). Neka je neprekidna -periodična funkcija koja je deo po deo glatka na . Tada Furijeov red funkcije apsolutno i ravnomerno konvergira ka funkciji na .

Dokaz:
Neka je definisana sa

Iz definicije je jasno da (**)

Neka su i Furijeovi* koeficijenti funkcije ,
a i Furijeovi* koeficijenti funkcije .


Odakle, jer brojevni redovi (?) i konvergiraju iz Vajerštrasova kriterijuma funkcionalni red konvergira ravnomerno, a samim tim Furijeov red apsolutno i ravnomerno konvergira ka (što konvergira ka je jasno iz posledice).

Diferenciranje i integracija Furijeovog reda

Teorema (diferenciranje). Neka je glatka -periodična funkcija i neka su i Furijeovi koeficijenti funkcije . Tada ako je deo po deo glatka važi

Dokaz:
Prvo ćemo pokazati da desni red ravnomerno konvergira.

Neka je definisana sa

Iz definicije je jasno da (**)

Neka su i Furijeovi* koeficijenti funkcije .

Slično kao u prethodnoj teoremi:


Odakle, jer brojevni redovi (?) i konvergiraju iz Vajerštrasova kriterijuma funkcionalni red konvergira ravnomerno.

Pomoću teoreme dobijamo tvrđenje.


Teorema (integracija). Neka je i neka su i Furijeovi koeficijenti funkcije . Tada (nezavisno od toga da li Furijeov red funkcije konvergira ili ne) važi


i navedeni red ravnomerno konvergira na

Dokaz: Neka je def sa
je neprekidna (?) i deo po deo glatka.


Odakle , stoga

Iz teoreme imamo da Furijeov red fje ravnomerno konvergira ka . Neka su i Furijeovi* koeficijenti od tada

Konačno,