Grafik funkcije (jedne promenljive)

#fax #math #a1 [deo analize]

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcije

1) Domen

2) Znak i nule

je pozitivna na intervalu , ako
je negativna na intervalu , ako

Nule su rešenja jednačine

Ako nemoguće rešiti (ne)jednačine preskočiti.

3) Svojstva

  • je periodična ako
  • je parna ako
  • je neparna ako

Može biti ni parna ni neparna, može biti periodična i parna, i td.

4) Neprekidnost

Sve osnovne funkcije su neprekidne, kao i njihov zbir, proizvod i kompozicija.

Treba proveriti granične tačke intervala u funkciji datoj sa vitičastom zagradom.

Na primer:

Treba proveriti tačke:

Za svaku takvu tačku treba naći i ako to ima smisla. (U primeru fja nije zadata levo od , onda ne razmatramo )
Ako (ili samo , ako nema smisla ili samo , ako nema smisla), onda je neprekidna u .

Ako ili onda nije neprekidna u

5) Diferencijabilnost

Funkcija može biti diferencijabilna u samo ako je neprekidna u .

Razdvojiti na slučajeve u kad je modul nenegativan i kad je negativan za svaki modul.

Nastavljamo primer:

Naći izvod za svaki slučaj na otvorenom delu svakog intervala.

Nastavljamo primer:

Svaku graničnu tačku razmatramo odvojeno:

  1. nije neprekidna u nije diferencijabilna u
  2. je diferencijabilna u
  3. Ako ili ili
    treba tražiti izvod po definicije:
    Ako
    , onda je diferencijabilna u inače nije diferencijabilna u .

6) Intervale monotonosti i ekstremumi

raste na intervalu , ako
opada na intervalu , ako

Razmatramo sve tačke u kojih važi
Ako u levoj okolini tačke raste, u desnoj opada i , onda je maksimum.
Ako u levoj okolini tačke opada, u desnoj raste i , onda je minimum.

-) Dodatno pronalaženje nula ako je bio preskočen deo 2):

Ako je neprekidna i monotona na intervalu i onda postoji jedinstvena nula na intervalu .

Razmatramo svaki interval monotonosti tako što gledamo da li su odgovarajući ekstremumi (ili uzimamo slučajne tačke na intervalu) različitog znaka, ako jesu postoji jedinstvena nula.

7) Konveksnost/konkavnost i prevojne tačke

Tražimo

je konveksna na intervalu , ako
je konkavna na intervalu , ako

Razmatramo sve tačke u kojih važi
Ako je u levoj okolini tačke konveksna (konkavna), u desnoj okolini konkavna (konveksna) i , onda je prevojna tačka.

8) Asimptote

  • Vertikalne: proveravamo sve — tačke nagomilavanja .
    Ako ili onda je vertikalna asimptota.

  • Kose kod i su oblika
    (Ako ili onda asimptota)

    • Tražimo i direktno:

    • Ili pomoću Tejlorovog polinoma (obično zamenom ):
      ,
      gde ako prolazi iznad asimptote,
      ako prolazi ispod asimptote