Grupa

#fax #math #alg [deo poglavlja "algebarska struktura"]

Def. Grupa je algebarska struktura , gde je neprazan skup a za binarnu operaciju na važi:

  • (asocijativnost)
  • (neutral)
  • (inverz)

je neutral grupe
Stav. Postoji jedinstven neutral.

Dokaz: pps i su neutrali tada
ako je neutral onda
ako je neutral onda
odakle , kontradikcija

je inverz za . Inverz se često označava sa
Stav. Za svaki element grupe postoji jedinstven inverz.

Def. Abelova (komutativna) grupa je grupa za koju važi:

  • (komutativnost)

Proizvod se definiše rekurentnom formulom:

oznake:

pri tome za definišemo ,
i važi

Def. Za konačnu grupu možemo formirati Kejlijevu tablicu: vrste i kolone označavamo sa elementima grupe, a u preseku vrste označene sa i kolone označene sa zapisujemo element .

Svojstva grupe

Stav. Neka je grupa, .
Tada

Stav. Neka je Abelova grupa. Tada ako onda

Stav. Neka je grupa. Tada

Stav. Neka je grupa. Tada

Stav. Neka je grupa. Tada

  • jednačina ima jedinstveno rešenje
  • jednačina ima jedinstveno rešenje

Stav. Neka je grupa. Tada


Def. je konjugovan elementu


Stav. Neka je grupa, , . Tada

Diedarska grupa

Razmatramo simetrije pravilnog -ugaonika:
— neutral, identičko preslikavanje.
— rotacija za ugao u smeru suprotnom od kazaljke;
tada su sve rotacije i .
— neka osna refleksija;
tada su sve refleksije i .

Skup od elemenata u odnosu na operaciju kompozicije preslikavanja predstavlja diedarsku grupu

Ciklična grupa

Def. Grupa je ciklična ako važi .
Element je generator ciklične grupe .
Oznaka ciklične grupe generisane elementom :

Podgrupa

Def. Neka su i dve grupe. je podgrupa od ako
i
Oznaka .
Operacija je restrikcija operacije na .

Stav.

  • Neutral u je jednak neutralu u
  • Ako je onda inverz od u je jednak inverzu od u


Stav. Neprazan podskup grupe je podgrupa grupe u odnosu na restrikciju operacije iz akko

Dokaz:
, pa i
Neka i
Jasno je da je asocijativnost sačuvana u svakom podskupu grupe.
— neutral
— inverz
, odakle — zatvorenost operacije


Stav. Neka su i podgrupe grupe , tada

  • je podgrupa grupe
  • je podgrupa grupe akko ili

Dokaz:

  • prvo tvrđenje

je neutral
Neka su ;
iz prethodnog stava , pa ;
ponovo na osnovu prethodnog stava je podgrupa od .

  • drugo tvrđenje


jeste podgrupa od ;
jeste podgrupa od .
su podgrupe od
pps: i ,
tj. i


tada važi ili
kontradikcija

kontradikcija


Def. Najmanja podgrupa koja sadrži podskup grupe (odnosno presek svih podgrupa grupe koje sadrže ) zove se podgrupa generisana skupom .
Oznaka:
je skup generatora te podgrupe.

je skup svih inverza elemenata iz .

Stav.
(ako je , imamo neutral )

Red grupe i elementa. Indeks podgrupe

Izomorfizam grupa

Def. Neka su i grupe. i su izomorfni ako postoji bijekcija takva da . je izomorfizam grupa i .
Oznaka:

Napomena: izomorfizam je specijalan slučaj homomorfizma.


Stav. Ako je izomorfizam grupa, onda je i izomorfizam grupa.

Dokaz: Jer je bijekcija, jeste bijekcija.
Pokazati da

Jer je surjekcija


Stav. Neka je neutral u , neutral u , i izomorfizam. Tada

  • ako je beskonačnog reda, onda je i beskonačnog reda;
    ako je konačnog reda, onda

Dokaz:

  • pps: je beskonačnog reda, a konačnog, tj. .
    imamo
    ( je reda ). Kontradikcija

    Neka je reda , pokazati da je reda .
    , tj. je konačnog reda.
    Pretpostavimo da nije najmanji broj takav da , a jeste ( je reda ). Tada .
    , jer je najmanji takav pozitivan broj, , tj. .
    , odakle , jer je reda .
    konačno imamo .


Teorema. Svaka ciklična grupa je izomorfna ili grupi ili grupi .

Dokaz:
Neka je beskonačna ciklična grupa, tada . Definišemo sa , koja jeste bijekcija. Važi i , jer . Stoga je izomorfizam i

Neka je reda , . Slično prethodnom definišemo sa , koja je bijekcija. Pokazati .
Stoga je izomorfizam i

Grupa permutacija

Napomena:


Teorema (Kejlijeva). Svaka grupa izomorfna je nekoj podgrupi grupe

Dokaz:
Neka je . Definišemo fju sa

, tj.
Dakle,
Važi
Stoga,
Definišemo fju sa , koja jeste bijekcija i važi

Tj. je izomorfizam grupa i


Posledica. Svaka konačna grupa reda izomorfna je nekoj podgrupi grupe

Direktan proizvod grupa

Normalne podgrupe

Homomorfizam grupa

Dejstvo grupe

Konačno generisana Abelova grupa