Homomorfizam grupa

#fax #math #alg [deo poglavlja "grupa"]

Def. Neka su i grupe. Funkcija , takva da , zove se homomorfizam grupa i .

Napomena: Slično izomorfizmu neutral se slika u neutral (*), a slika inverza jednaka je inverzu slike (*).


Def. Neka je homomorfizam grupa.

  • Jezgro homomorfizma je
  • Slika homomorfizma je

Stav. Neka je homomorfizam. Tada

Dokaz:
Prvo, pomoću stava pokažemo
Jer ,
Neka su , tj.

tj. .
Odakle sledi

Dalje, pomoću stava (2.1.) pokažemo .
Zapravo, neka je . Tada ,
tj.
Dakle,


Stav. Neka je homomorfizam. Tada
je "1-1"

Dokaz:
Neka je , tj.
, tj. nije "1-1"
Neka je .
Pretpostavimo da za neke
Tada
tj. , a jer je , .
Odakle je , tj. je "1-1"


Stav. Neka je homomorfizam. Tada

Dokaz:
Kako je , .
Neka su , tad


Iz stava imamo


Teorema (o izomorfizmu). Neka je homomorfizam grupa. Tada indukuje izomorfizam definisan sa i važi .

Dokaz: Prvo pokažemo da je dobro definisana.
Neka su . Iz stava, , tj.

je homomorfizam:

Iz definicije je jasno da , tj. je "na".
Da bismo pokazali da je "1-1" koristimo stav, tj. treba pokazati ( je neutral u grupi ).
pps .
kontradikcija.

je bijekcija i samim tim je izomorfizam.


Posledica (prethodne i Lagranžove teoreme). Neka je homomorfizam grupa. Tada