Homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Def. Neka su i dva komutativnih prstena sa jedinicom. Funkcija je homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom, ako

Def. Neka je homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom. Tada je jezgro homomorfizma .

Stav. Neka je homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom. Tada (*)

Dokaz:

  • Neka


  • Neka je ideal u i neka su .
    Tada , a stoga


  • Neka je ideal u i neka su .
    Tada
    takođe jer je "na",


Stav. Neka je homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom. Tada je "1-1".

Napomena: Stav se dokazuje pomoću homomorfizma.

Izomorfizam

Def. Homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom je izomorfizam, ako je bijekcija. Oznaka: .

Napomena: kongruencije


Teorema (o izomorfizmu). Neka je homomorfizam komutativnih prstena sa jedinicom. Tada indukuje izomorfizam definisan sa i važi .

Dokaz: Prvo pokažemo da je dobro definisana , kao i da je "1-1" :


Jasno je da je "na".
Da li slika u ?
.
Zaključujemo da je izomorfizam.


Stav.

Dokaz:
def. sa je homomorfizam.

Iz teoreme o izomorfizmu dobije se tvrđenje.


Stav. Nek su komutativni prsteni sa jedinicom. Tada

Dokaz: (*)
Neka je izomorfizam prstena.

Homomorfizam prstena slika invertibilni element u invertibilni?
Neka je , tada

Prema tome,
Stoga, restrikcija jeste homomorfizam grupa i .

"1-1": svojstvo se čuva na restrikciji.

"na": kako je izomorfizam prstena, ,
a koko je invertibilni
i za
imamo .