Integralna veza skupa i njegove granice

#fax #math #a3 [deo poglavlja "krivolinijski integral" i "površinski integral"]

Napomena: Konzervativno vektorsko polje

Grinova formula

Teorema (Grinova formula). Neka je kompaktan i takav da mu je granica deo po deo glatka kriva. Neka je vektorsko polje, takvo da su neprekidni na . I neka je orijentisana tako da ostaje sa leve strane. Tada

Dokaz:
Dokazaćemo formulu u slučaju , gde je
grafik fje
grafik fje
grafik fje
grafik fje

Neka je parametrizovana sa

Iz teoreme:

Treba pokazati:

Dokažemo prvu jednačinu, druga se dokazuje analogno.
Neka je i , tada i
(smena ne utiče ne levi deo jednačine)

u prvom integralu smena , tada ;
u drugom integralu smena , tada .

Njutn-Lajbnic:

Komplikovanije figure delimo na više figura vertikalnim/horizontalnim linijama, tako da svaka seče granicu neparan broj puta

Treba pokazati (kao i odgovarajuću jednačinu sa i horizontalnim linijama):

Levi deo jednačine se ne menja od dodavanja vertikalnih linija, a u desnom jer svaki deo linije se prolazi paran broj puta (u svaki prolaz u jednom smeru ima i prolaz u suprotnom), odgovarajući integrali će se skratiti i vertikalne linije neće uticati ni na desni deo jednačine.

Stoksova formula

Teorema (Stoksova formula). Neka je glatka deo po deo neprekidna zatvorena kriva, koja je granica površi , . je zatvorena površ parametrizovana regularnom parametrizacijom. i su orijentisane tako da ostaje sa leve strane od , gledajući sa strane izabrane parametrizacijom . Neka je neprekidno (zajedno sa parcijalnim izvodima) vektorsko polje. Tada

Dokaz:
Prvo razmotrimo , analogno se dokazuje za i .
Neka je , takav da , i neka je , takav da .
Parametrizujemo sa , tad je data sa

Grinova formula

Jer su oba (levi i desni deo jednačine) integrala linearni po , bilo koju možemo predstaviti kao , i jer smo pokazali da jednačina važi za svaki od sabiraka, jednačina važi za bilo koje polje .

Gausova formula

Teorema (Gausova formula). Neka je regularna površ granica kompaktog skupa , je parametrizovana po spoljnom delu i neprekidno (zajedno sa parcijalnim izvodima) vektorsko polje na . Tada

Dokaz:
Dokazaćemo formulu u slučaju , gde su

Tada,

Neka

Treba pokazati:

Pokazaćemo poslednju jednačinu, ostale dve se dokazuju analogno.
Neka je parametrizacija oblasti . Pri tome

je spoljašnost od , stoga u ("donji" deo) vektor normale usmeren "dole", a u ("gornji" deo) vektor normale usmeren "gore".

Njutn-Lajbnic: