Invertibilni elementi u prstenu. Polje i domen

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Def. Neka je komutativan prsten sa jedinicom. Skup svih invertibilnih elemenata u u odnosu na je
je grupa invertibilnih elemenata prstena .

Napomena: nema inverz: , ako

Stav. je Abelova grupa.

Dokaz:
zatvorenost:
;
asocijativnost se čuva;
neutral: , jer ;
inverz: iz definicije skupa


Def. Element prstena je pravi delitelj nule u prstenu ako

Def. je regularan ako

Napomena:


Tj. svaki ne-nula element ili je regularan ili je pravi delitelj nule.


Stav. Svaki invertibilni element je regularan:

Dokaz: neka je invertibilan, tj. >
Množenjem relacije sa dobijamo , odakle


regularan-i-pravi-delitelj.png

Def. Komutativan prsten sa jedinicom u kojem nema pravih delilaca nule je domen (oblast celih).

Def. Polje je komutativan prsten sa jedinicom u kojem

Stav. je polje akko je prost broj.

Dokaz:
Jer ima inverz po akko delji .


Stav. U polju nema pravih delitelja nule.

Dokaz:
U polju :

PPS, u polju postoji pravi delitelj nule:

iz

Kontradikcija

Napomena.


Stav. U konačnom prstenu svaki regularan element je invertibilan.

Dokaz: Neka je konačan komutativan prsten sa jedinicom i neka je skup svih regularnih elemenata prstena , tada
Neka su , tada
stoga , tj.

Iz definicije je očigledno da .

PPS, koji nema inverz, tj.
Odakle, za .
Po Dirihleovom principu, jer , važi
je delitelj nule. Kontradikcija.


Posledica. Svaki konačan domen je polje