Karakteristični i minimalni polinom

#fax #math #laag [deo linearne algebre]

Karakteristični polinom

Def. — proizvoljna matrica, tada matrica , gde je promenljiva, zove se karakteristična matrica matrice .

je karakteristični polinom matrice .
Oblika je

— karakteristična jednačina matrice .

Teorema. Karakteristični polinom je invarijanta sličnosti.

Dokaz:
Tada

Def. Karakteristični polinom LO je za proizvoljnu bazu VP-a .


Stav.

Lema (Bezuova). , za važi , gde
Tada

Teorema (Hamilton-Kejlijeva).

Minimalni polinom

Def. Minimalni polinom matrice je — moničan (viši koef. je jednak ) polinom najmanjeg stepena za koji važi .

Teorema. .

    • Specijalno:
  2. je jedinstven
  3. je invarijanta sličnosti

Dokaz:

  1. pps
    Tada , stepen je manji od stepena

    kontradikcija, jer stepen je manji od stepena minimalnog polinoma
  2. pps dva minimalnih polinoma stepena . Tada


    Oduzmemo jednu jednačinu od druge:

    dobili smo polinom stepena manjeg od minimalnog, za koji važi . Kontradikcija.

  3. Tada

    Neka je


    Slično:

    Odakle:
    (jer su monične)

Def. Minimalni polinom LO je za proizvoljnu bazu VP-a .

Stav. Minimalni polinom matrice je

Stav.

  1. je invertibilna
  2. je invertibilna

Dokaz.

  1. Neka


  2. Dokazano u 1.
    pps ,
    tada
    pomnožimo sa :
    ,
    dobili smo polinom stepena manjeg od minimalnog, za koji važi . Kontradikcija.

Sopstvene vrednosti

Def. je sopstvena vrednost LO , ako .
Tada se zove sopstveni vektor.

— spektar — skup svih sopstvenih vrednosti.

— sopstveni potprostor sopstvene vrednosti operatora — skup sopstvenih vrednosti , koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti , i nula vektora.

Stav.

Teorema.
je sopstvena vrednost

Napomene:

  • Sopstvene vrednosti su invarijante sličnosti.
  • Definicija sopstvene vrednosti bitno zavisi o polju:

    ako : nema sopstvenih vrednosti
    ako : ima sopstvene vrednosti


Teorema. , je VP nad poljem ,
Tada ima tačno sopstvenih vrednosti (među kojima može biti istih).
(Jer u samo linearni (faktori) polinomi nisu reducibilni)

Posledica. , Tada ima najviše sopstvenih vrednosti.

Teorema.
Ako , gde
je ireducibilan moničan polinom nad , tada je
, gde

Minimalni polinom tražimo tako što smanjujemo stepen ireducibilnih faktora karakterističnog polinoma, dok polinom od polazne matrice jednak .

Def. .
Algebarska višestrukost — višestrukost kao nule .
Geometrijska višestrukost — dimenzija .

Stav. Algebarska višestrukost geometrijska višestrukost.

Dijagonalizacija

Stav. . Tada je je linearno nezavisan.

Def. Dijagonalizacija je nalaženje baze u kojoj matrica operatora je dijagonalna.
je dijagonalizabilan ako takva baza postoji.

Teorema (O dijagonalizabilnosti).
, Tada su ekvivalentni:

  • je dijagonalizabilan
  • — baza od koja sastoji od sopstvenih vektora .
  • ima sopstvenih vektora.
  • je proizvod različitih linearnih faktora.

Matrica u bazi :
,
gde je odgovarajuća sopstvenom vektoru sopstvena vrednost.

je dijagonalizabilna ako , takva da , tj.

su rešenja

, gde je sopstveni vektor,

tj.

! Sopstvenom vektoru odgovara sopstvena vrednost

Korišćenje:
nalaženje :