Konačno generisana Abelova grupa

Abelova Grupa je algebarska struktura , gde je neprazan skup a za binarnu operaciju na važi:

Konačno generisana grupa je grupa koja je generisana konačnim skupom generatora. Generatori su obično dati pomoću sistema jednačina.

Suma i direktna suma

Def. Neka je Abelova grupa, . Tada je suma podgrupa najmanja podgrupa od koja sadrži kao podgrupu i i .
Suma je direktna ako . Oznaka: .

Napomena: Svaki element iz moguće je na jedinstven način predstaviti kao zbir jednog elementa iz i jednog elementa iz .

Suma više podgrupa:
.
Ova suma je direktna ako je svaki njen element moguće predstaviti na jedinstven način kao zbir po jedan element iz svake od podgrupa

Stav. Neka je Abelova grupa. Suma podgrupa grupe je direktna akko

Dokaz: PPS: neka je direktna i neka , .
Tada za .
Što su dva različita prikaza u direktnoj sumi . Kontradikcija.

PPS: neka
i neka ima bar dva prikaza: za (nisu svi i jednaki). Tada
Neka je takvo da je najveći broj za koji
Odakle,
a jer važi . Stoga . Kontradikcija.

Stav. Neka je Abelova grupa, . Tada
.

Dokaz: Izomorfizam definisan sa

homomorfizam:
(jer u važi i asocijativnost i komutativnost)

"na": jasno je da ne postoji element koji ne možemo predstaviti odgovarajućem zbirom.
"1-1": jasno je da je to predstavljanje jednoznačno iz definicije direktne sume.

Normalna forma. Uslov cikličnosti

Teorema. Neka je konačno generisana Abelova grupa. Tada postoje pozitivni brojevi i takvi da
i .

Brojevi zovu se invarijantni delitelji, a prikaz u zaokruženom obliku normalna forma.

Stav. Neka je Abelova grupa reda i neka za svako , koje deli , postoji najviše elemenata takvih da . Tada je ciklična.

Dokaz: Iz prethodne teoreme i jer je konačna:
postoje i takvi da ,
gde i

Tada
Odakle,
Iz pretpostavke jer postoje najviše elemenata takvih da
tj. , stoga zaključujemo da , a , tj. jeste ciklična.

Generatori zadati sistemom jednačina/matricom

Neka je Abelova grupa zadata generatorima za koje važe

Tada kraće:

Elementarne transformacije:

množenje vrste/kolone sa
dodavanje neke vrste/kolone pomnožene skalarom drugoj vrsti/koloni.
promena mesta vrsta/kolona

Teorema. . Tada postoje invertibilne matrice i tako da , gde je
i

Množenje elementarnim matricama sleva odgovara transformacijama nad vrstama (koje ne menjaju generatore).
Množenje elementarnim matricama zdesna odgovara transformacijama nad kolonama (koje menjaju generatore).

Neka je sistem predstavljen sa .
Tada ako , množimo gornju jednačinu sa sleva:

— novi generatori; novi sistem generatora:

Matrično:

U donjem desnom uglu dobijamo nove generatore.
U gornjem levom uglu dobijamo relacije među novim generatorima.

Čitamo :

Nekoliko prvih mogu biti jednake , tada oni odgovaraju grupi , koju ne pišemo u navedenom proizvodu.