Konzervativno vektorsko polje

#fax #math #a3 [deo poglavlja "krivolinijski integral"]

Def. Vektorsko polje je konzervativno (gradijentno), a je potencijal tog polja.

Teorema (Uopštenje Njutn-Lajbnicove formule). Neka je konzervativno neprekidno vektorsko polje () i neka je proizvoljna deo po deo glatka kriva koja spaja tačke . Tada

Dokaz: Neka je parametrizovana sa
[*]


Teorema. Neka je neprekidno vektorsko polje. Tada su tvrđenja ekvivalentna:

  1. je konzervativno.
  2. za svaku deo po deo neprekidnu krivu koja spaja i ista je vrednost .
  3. Za svaku zatvorenu deo po deo neprekidnu krivu važi .

Dokaz:
Prethodna teorema.

Neka je zatvorena deo po deo neprekidna kriva.
Neka su i krive koje spajaju tačke ().
Tada , stoga .

Neka za svaku svaku zatvorenu deo po deo neprekidnu krivu važi .

Izaberemo fiksiranu tačku , a je proizvoljno.

Neka su i dve proizvoljne deo po deo neprekidne krive koje spajaju i , tad za krivu važi pretpostavka. Stoga, , tj. vrednost ne zavisi od izbora krive.

Označimo sa proizvoljnu krivu sa početkom u i krajem u .
Zbog zaključka u prethodnom pasusu dobro je definisana fja sa .

Neka je kriva prava, tad nju možemo parametrizovati fjom def. sa


Iz teoreme između i

Stoga,

Napomena: Ako važi jedan od uslova i u prethodnoj teoreme, za dati gradijent možemo naći polaznu funkciju do na koeficijent.


Posledica (prethodne teoreme i Grinove formule). Neka je neprekidno vektorsko polje, takvo da su i neprekidni.
Tada je konzervativno akko

Posledica (prethodne teoreme i Stoksove formule). Neka je neprekidno (zajedno sa parcijalnim izvodima) vektorsko polje definisano na prosto-povezanoj oblasti .
Tada je konzervativno akko