Kriterijumi konvergencije brojevnih redova

#fax #math #a2 [deo poglavlja "brojevni red"]

Teorema (Košijev kriterijum). Neka je niz brojeva. Tada

Dokaz: tvrđenje direktno sledi iz teoreme: niz konvergira akko je Košijev.


Stav. Neka su i su nizovi brojeva, i . Tada

Dokaz:
Neka je parcijalna suma reda
i neka je parcijalna suma reda .

Iz Košijevog kriterijuma:

pretpostavimo da je (za je analogno).

Konačno:


Teorema (posledica stava). Neka su i su nizovi brojeva, i . Tada


Teorema. Neka su i su nizovi brojeva, i . Tada

  • Ako je onda
  • Ako je onda
  • Ako je onda su i ekvikonvergentni
    (tj. ili oba konvergiraju ili oba divergiraju).

Dokaz:
Prvo tvrđenje.


Uzimamo i jer su nizovi pozitivne važi
i iz prethodne teoreme slede tvrđenje.

Drogo tvrđenje dobijamo iz prvog zamenom mesta i .
Treće tvrđenje.

Iz pozitivnosti nizova i koristeći prethodnu teoremu dobijamo:

  1. Uzimamo tada važi

    Odakle ako konvergira onda i konvergira
  2. Uzimamo tada važi

    Odakle ako konvergira onda i konvergira

Teorema (Dalamberov kriterijum). Neka je niz brojeva takav da i . Tada

  • Ako onda
  • Ako onda

Dokaz:

Prvo tvrđenje.
Definišemo , pri tome uzimamo tako da , što je moguće jer . Tada

Odakle,

Red konvergira za

Iz (1) i jer na osnovu teoreme važi da , odakle na osnovu stava .

Drugo tvrđenje.
Definišemo , pri tome uzimamo tako da . Tada slično kao u prvom tvrđenju dobijamo

Red divergira za

Iz (2) i jer na osnovu teoreme važi da , odakle na osnovu stava .


Teorema (Košijev koreni kriterijum). Neka je niz brojeva takav da i . Tada

  • Ako onda
  • Ako onda

Dokaz je sličan dokazu prethodne teoreme.


Teorema (konvergencija reda i nesvojstvenog integrala).
Neka je neprekidna opadajuća funkcija.
Tada

Dokaz:


Odakle,


Jer i je rastući niz, taj niz je ograničen odozgo.
Odakle koristeći fja ograničena je odozgo i jer je ona rastuća, (tj. integral konvergira)


Jer i je rastuća fja, ta fja je ograničena odozgo.
Odakle koristeći niz ograničen odozgo i jer je on rastući, (tj. red konvergira)


Stav (Lajbnicov kriterijum). Neka je strogo opadajući niz brojeva takav da . Tada i važi .

Dokaz: Neka je niz parcijalnih suma.

Sa jedne strane,

Odakle, jer je opadajući važi da je rastući

Sa druge strane,

Važi

je ograničeni i rastući niz


Konačno,
i jer važi i