Kriterijumi konvergencije nesvojstvenih integrala

#fax #math #a2 [deo poglavlja "nesvojstveni integral"]

Sledeći stavovi/teoreme su navedeni samo za interval , gde je singularitet. Analogno postoje i odgovarajući stavovi/teoreme za interval , gde je singularitet.


Teorema (Košijev kriterijum).
, , . Tada

Dokaz:

Integral konvergira akko

Iz Košijevog kriterijuma za postojanje limesa funkcije:

Stav. , , i važi . Tada

Dokaz:
Iz Košijevog kriterijuma:

Iz svojstava određenog integrala (1, 2):

Konačno:


Teorema (posledica stava). , , i važi . Tada


Teorema. , , i . Tada

  • Ako je onda
  • Ako je onda
  • Ako je onda su i ekvikonvergentni
    (tj. ili oba konvergiraju ili oba divergiraju).

Dokaz:
Prvo tvrđenje.


Uzimamo i jer su fje pozitivne važi
i iz prethodne teoreme slede tvrđenje.

Drogo tvrđenje dobijamo iz prvog zamenom mesta fja i .
Treće tvrđenje.

Iz pozitivnosti fja i i koristeći prethodnu teoremu dobijamo:

  1. Uzimamo tada važi

    Odakle ako konvergira onda i konvergira
  2. Uzimamo tada važi

    Odakle ako konvergira onda i konvergira


Teorema (konvergencija reda i nesvojstvenog integrala).
Neka je neprekidna opadajuća funkcija.
Tada