Neka je kriva parametrizovana sa i neka je podela sa istaknutim tačkama intervala , u kojoj su podeone tačke.
Pri tome tačke su podeone tačke te podele i
, gde su istaknute tačke podele .
je podela sa istaknutim tačkama krive
Aproksimiramo dužinu dela krive sa
Krivolinijski integral skalar-funkcije
Def. Neka je i podela sa istaknutim tačkama krive . Zbir je integralna suma.
Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
č
Tada je krivolinijski integral (prve vrste) fje duž .
Ako je zatvorena pišemo .
Teorema. Ako je deo po deo neprekidna i je regularna parametrizacija krive , onda
Napomena:
Ako razmatramo krivu u parametrizovanu sa def. sa , imamo
Stav. i su deo po deo neprekidni; . Tada važi
Stav. i su deo po deo neprekidni; . Tada
Stav. je deo po deo neprekidna; krive i imaju samo jednu zajedničku tačku koja je kraj i jedne i druge krive. Tada
- je deo po deo neprekidna, , . Tada
- je neprekidna. Tada
Krivolinijski integral vektorskog polja
Def. Neka je kriva parametrizovana sa , podela sa istaknutim tačkama te krive i vektorsko polje. Zbir je integralna suma ( je skalarni proizvod).
Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
č
Tada je krivolinijski integral (druge vrste) fje duž .
Ako je zatvorena pišemo .
Teorema. Neka je kriva parametrizovana sa i neka je vektorsko polje. Označimo sa jedinični tangentni vektor na
Tada,
Napomena:
Ako razmatramo krivu u parametrizovanu sa def. sa i vektorsko polje , imamo
Stav. Krive i imaju samo jednu zajedničku tačku koja je kraj krive i početak krive . Tada
Krivu možemo orijentisati na dva načina: ako je jedna parametrizacija krive , onda je parametrizacija def. sa suprotne orijentacije od .
Krivu orijentisanu suprotno od krive označavamo sa , tj.