Kvadratna matrica

#fax #math #laag [deo poglavlja "matrica"]

— VP svih kvadratnih matrica .

Jedinična matrica:

Stav. je neutral za množenje, tj.

Teorema. je asocijativna -algebra sa jedinicom.

Oznaka:

Def. Trag matrice je linearni funkcional def. sa

Stav (svojstva traga):

Def. su slične:

Stav. je relacija ekvivalencije.

Slične matrice su matrice istog LO iz u različitim bazama [*].

Invarijanta sličnosti — svojstvo koje važi za svaku matricu u nekoj klasi ekvivalencije, tj. svojstvo LO koje ne zavisi od matričnog zapisa.

Stav. Determinanta je invarijanta sličnosti.
Stav. Trag je invarijanta sličnosti.

Rang je invarijanta sličnosti.
Karakteristični i minimalni polinomi, sopstveni vektori i sopstvene vrednosti su invarijante sličnosti.

Def. su kongruentne:

Stav. je relacija ekvivalencije.

Kongruentne matrice su matrice iste hermitske bilinearne forme u različitim bazama.

Stav. Kongruentne matrice imaju isti rang. (Sledi iz teoreme)

Def. je nilpotentna ako .

Ako i , je indeks nilpotentnosti matrice .

! Na glavnoj dijagonali su .

Kanonska nilpotentna matrica indeksa :

je monoid jer operacija množenja je:

nije grupa jer postoje matrice koje nemaju inverz.

Opšta linearna grupa ili sostoji od svih matrica iz , koji imaju inverz.

je simetrična ako

Skup simetričnih matrica:
je VP.
nije grupa, jer nije zatvorena za množenje.

je (koso-)antisimetrična ako

Skup antisimetričnih matrica:
je VP.
nije grupa, jer nije antisimetrična.

je ortogonalna ako

Skup ortogonalnih matrica:
nije VP.
je podgrupa , i zove se ortogonalna grupa.

je dijagonalna ako za sve

Oznaka:

Skup dijagonalnih matrica je VP.
i su izomorfni.

Skup invertibilnih dijagonalnih matrica je podgrupa .

je skalarna ako .

Skup skalarnih matrica:
je VP.
i su izomorfni.

Skup skalarnih ne-nula matrica je podgrupa .