Linearna zavisnost i nezavisnost. Skup generatora, baza i dimenzija VP-a

#fax #math #laag [deo poglavlja "vektorski prostor"]

Def. . je linearna kombinacija vektora ako

Skup generatora

Def. Ako je linearna kombinacija vektora .
Tada je skup generatora VP-a .

Ako je skup generatora , tada važi

  1. je skup generatora
  2. je linearna kombinacija vektora iz
    je skup generatora

Linearna zavisnost i nezavisnost

Def. Neka je . je linearno nezavisan ako jednačina
ima jedinstveno rešenje

je linearno zavisan inače.

Svojstva:

  1. . je uvek linearno zavisan.
  2. je linearno nezavisan.
  3. je linearno zavisan
  4. Podskup linearno nezavisnog skupa je linearno nezavisan.
  5. Nadskup linearno zavisnog slupa je linearno zavisan.

Stav. je podskup . Tada
je linearno zavisan je lin. kombinacija

Baza i dimenzija

Def. Baza VP-a je linearno nezavisan skup generatora .

Teorema (o bazi). je VP nad . Tada

  1. baza VP-a .
  2. Ako su baze VP-a , tada

Def. Dimenzija VP-a je kardinalni broj neke baze VP-a .
Oznaka:

VP je konačnodimenzioni ako je

Lema. Neka je skup generatora , je linearno nezavisan skup. Tada
i
je baza

Stav. je VP. . Tada:

  1. je linearno zavisan;
  2. je linearno nezavisan je baza ;
  3. je skup generatora je baza ;

Stav. je skup generatora konačnodimenzionog VP-a . Tada
maksimalan linearno nezavisan podskup je baza

Stav. je linearno nezavisan, je konačnodimenzioni VP. Tada
je podskup neke baze , koji moguće dopuniti do baze.