Linearni operator u unitarnom prostoru

#fax #math #laag [deo poglavlja "linearni operator" i "unitarni prostor"]

Linearni funkcional u unitarnom prostoru

je unitarni prostor.
Preslikavanje def. sa je linearni funkcional.

Teorema. je konačnodimenzioni unitarni prostor, . Tada

Def. Reprezentacija linearnog funkcionala pomoću skalarnog proizvoda: def. sa

Stav. Važi:

  • je bijekcija

Hermitski adjungovani operator

Def.
, , def. sa .
Iz prethodne teoreme

Operator dat sa je hermitski adjungovani operatoru .

tj. je takav da važi:

Stav. je unitarni konačnodimenzioni prostor. Tada

Stav. je konačnodimenzioni unitarni prostor, je ortonormirana baza od , . Tada ako je matrica operatora u bazi onda je [?] matrica operatora .

Teorema. je konačnodimenzioni unitarni prostor, . Tada

Klase operatora u unitarnom prostoru

Def. je unitarni prostor, . Tada je

  • normalan ako
    • hermitski ako
    • (koso-)antihermitski ako
    • unitaran ako (tj. )

Teorema. Sopstvene vrednosti:

  • hermitskog operatora su realni;
  • antihermitskog operatora su čisto imaginarni;
  • unarnog operatora imaju apsolutnu vrednost .

Teorema. je unitaran prostor, . Tada

  • je hermitski/antihermitski/unitarni, je invarijantni prostor od . Tada je invarijantni prostor od .
  • je unitaran. Tada i čuvaju skalarni proizvod.
  • je unitaran preslikava opronormiranu bazu u ortonormiranu bazu.

Teorema. je unitaran prostor, je normalan. Tada

  • je sopstvena vrednost je sopstvena vrednost uz isti sopstveni vektor
  • Sopstveni vektori koji odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima su ortogonalni.

Lema. je unitaran prostor, .
je normalan

Teorema. je unitaran prostor, je normalan. Tada postoji ortonormirana baza u kojoj je matrica operatora dijagonalna.

Pozitivnost hermitskog operatora

Def. Hermitski operator je pozitivan ako .
je strogo pozitivan ako još važi

Teorema. je hermitski operator. Tada je pozitivan .

Def. Operator je kvadratni (drugi) koren iz operatora ako .

Teorema. je pozitivan hermitski operator, tada postoji jedinstven pozitivan kvadratni koren iz — operator , koji komutira sa svim operatorima sa kojima komutira .