Linearni operator

#fax #math #laag [deo linearne algebre]

Def. Neka su i vektorski prostori nad istim poljem . Preslikavanje se zove linearni operator (linearna transformacija), ako važi jedan od ekvivalentnih uslova:

Def. ___ linearni operator se zove ___:

Oznake:
— skup svih LO sa u .
— skup svih LO sa u (svih endomorfizama).
( se ne piše, ako se i tako zna nad kojem poljem)

Stav. . Tada

Lema. LO je u potpunosti određen svojim dejstvom na bazi VP-a .

Dokaz:
je baza od .
— slike baznih vektora (dejstvo na bazi ).

Primeri LO

Nula preslikavanje. def. sa .
Identičko preslikavanje. def. sa .
Projektor — LO za koji važi .
Na primer projekcija na ravan u :
def. sa je LO:
Diferencirane. je VP svih glatkih funkcija na . Tada je LO:

Kompozicija LO

Stav. Kompozicija LO je LO:
.
def. sa
Tada

Stav (svojstva kompozicije LO).

Oznaka: .

je monoid jer kompozicija LO je:

zatvorena:
asocijativna
postoji neutral:

ima inverz je izomorfizam (bijekcija)

VP i algebra

Stav. je VP uz operacije:

(s)
(ms)

Nula preslikavanje kao neutral za sabiranje.

Stav. je baza ; je baza .
je LO, tako da
Tada je baza .
Specijalno:

Stav. je asocijativna -algebra sa jedinicom.

Identičko preslikavanje kao neutral za kompoziciju.

Slika i jezgro, rang i defekt LO. Regularni operator

Matrica linearnog operatora

Linearni funkcional

Invarianta sličnosti

Def. Determinanta operatora .
def. sa za proizvoljnu bazu VP-a .

Def. Trag operatora .
def. sa za proizvoljnu bazu VP-a .