Neodređeni integral

#fax #math #a2 [deo analize]

Primitivna funkcija

Napomena: izvod

Def. Funkcija je primitivna funkcija za funkciju na intervalu ako i .

Stav. Neka je ; neka je primitivna za na ; — proizvoljno. Tada je def. sa primitivna za na .

Dokaz:
je diferencijabilna kao zbir diferencijabilnih.

Teorema. Neka je ; neka su primitivne za na . Tada .

Dokaz: Neka je def. sa , tada
Iz posledice Lagranžove teoreme:

Definicija i svojstva neodređenog integrala

Def. Neka je . Neodređeni integral funkcije na je skup svih primitivnih funkcija za na .

Iz prethodne teoreme, neka je proizvoljna primitivna za na . Tada:

Kraći zapis:

Napomena: u kraćem zapisu se ne piše interval, što predstavlja opasnost!

Integral se razmatra samo na intervalu: na uniji intervala svaki interval ima sopstvenu konstantu

Primer. Naći

I.
II.

Konačno:


Stav. Neka su funkcije koje imaju primitivne na i neka su . Tada

Dokaz: Neka je primitivna za na ; primitivna za na

je primitivna za na

Tablica integrala
























Integrali koje se izvode iz prethodnih koristeći smene:









  4. (različito na svakom od tri intervala)

Metode integracije

Integracija racionalnih funkcija

Integracija racionalnih funkcija od sinusa i kosinusa

Integracija nekih iracionalnih funkcija