Nesvojstveni integral

#fax #math #a2 [deo analize]

Def.

  • Neka su i neka je takva da . Tada se nesvojstveni integral fje na definiše kao

    je singularitet.
  • Neka su i neka je takva da . Tada se nesvojstveni integral fje na definiše kao

    je singularitet.

Ako limes postoji i konačan je onda nesvojstveni integral konvergira, inače divergira.

Sledeći stavovi su navedeni samo za interval , gde je singularitet. Analogno postoje i odgovarajući stavovi za interval , gde je singularitet.


Stav. , , . Tada
ako onda konvergira.

Stav. , i postoji .
Tada ako onda divergira.

Stav. , . Tada

  • Ako konvergiraju i onda konvergira
    i važi
  • Za ako konvergira onda konvergira
    i važi đ
  • Ako važi i ako postoji i konačan je limes onda
    .

Dokaz:
Navedena svojstva direktno slede iz svojstava određenog integrala (1, 2, 3) i svojstava limesa.


Def. Nesvojstveni integrali sa više singulariteta:

  • Neka su i neka je takva da . Tada ako za neko konvergiraju i onda konvergira
    i važi
    i su singulariteti.
  • Neka su realni i neka je takva da i . Tada ako konvergiraju i onda konvergira
    i važi
    je singularitet.
  • Nesvojstveni integral sa više singulariteta (na krajevima i/ili unutra intervala) treba pomoću zaokruženih formula razviti na zbir više nesvojstvenih integrala sa po jednim singularitetom na jednom od krajeva intervala. Tada ako svaki sabirak konvergira konvergira i polazni integral.

Napomena: U drugom (a samim tim i trećem) delu definicije bi mogla da bude definisana u tački , ali bi ostao singularitet ako je tačka prekida druge vrste. Isto važi i za polaznu definiciju nesvojstvenog integrala.

Stav.

  1. konvergira za
  2. konvergira za

Apsolutna i uslovna konvergencija

Def. Integral konvergira apsolutno ako konvergira.

Stav. Ako integral konvergira apsolutno tada on konvergira.

Dokaz: tvrđenje sledi iz stava uzimajući


Def. Integral konvergira uslovno ako on sam konvergira a integral divergira.

Kriterijumi konvergencije

Gama funkcija i beta funkcija