Normalne podgrupe

#fax #math #alg [deo poglavlja "grupa"]

Def. je grupa, . Element je konjugovan elementu , ako

Stav. Konjugacija je relacija ekvivalencije.
Klasa (ekvivalencije) konjugacije:

Def. je klasa, . je normalna ako je unija nekih klasa konjugacije.
Oznaka:

Primeri: , ,


Stav. . Uslovi su ekvivalentni:

Dokaz:
proizvoljni.
Jer sastoji od klasa konjugacije, važi , tada
(za bilo koji , ), tj. .
iz množenjem celog skupa sleva sa i zdesna sa , dobijamo
i za sve . Odakle
Neka je neka klasa konjugacije za koju . Pokazati .
Neka je , tad je svaki element klase oblika .
Iz , odakle , tj.
Konačno, imamo .


Stav. Svaka podgrupa indeksa je normalna.

Dokaz: je grupa. takva da .
Tada, , za bilo koji
Jer i ,
Ako je , .
Iz prethodnog stava sledi tvrđenje.


Def. je grupa. Centar grupe je

Stav. .

Dokaz: Prvo dokažemo

  • Asocijativnost se čuva.
  • Neutral: kako je za sve , .
  • Inverz: neka je , tad za sve .
    Odakle množenjem sa sa obe strane, , tj.
  • Zatvorenost: Neka su , tad
    i za sve
    , tj.

Dokažemo
, tj. . Odakle .
.
Dakle, je unija jednočlanih klasa konjugacije, tj. .


Stav & Def. je grupa, . Skup levih koseta podgrupe čini grupu u odnosu na operaciju množenja podskupova .
Ova grupa zove se količnička grupa grupe po normalnoj grupi .

Dokaz: .
i su proizvoljni koseti.

Zatvorenost: treba pokazati
Važi (proizvod dva el. iz je iz jer je grupa)
kao i , jer . Odakle
Iz stava
Konačno, imamo

Asocijativnost:
Neutral: je neutral, naime
Inverz: inverz elementa je element , naime