Određeni integral

#fax #math #a2 [deo analize]

Podela intervala

Def. Neka su . Skup je podela intervala .

  • su podeove tačke podele .

  • je parametar podele .

  • — skup svih podela intervala .

Def. . je finija (grublja) podela od ako je skup podeovih tačaka podele nadskup (podskup) skupa podeovih tačaka podele .

Stav. je finija i od i od
(Skup podeonih tačaka je unija podeonih tačaka i ).
Tada je superpozicija podela i .

. Tada su
istaknute tačke podele .

Def. — podela sa istaknutim tačkama intervala

Definicija određenog integrala pomoću integralnih suma

Def. Neka je i podela sa istaknutim tačkama intervala . Zbir je integralna suma.

Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
č

Tada je Rimanov (određeni) integral fje na .

Ako postoji Rimanov integral (odnosno limes), je Riman-integrabilna (-integrabilna) na . Oznaka

Stav. Ako nije ograničena na onda

Definicija određenog integrala pomoću Darbuovih suma

Neka je ograničena i je podela intervala . Tada

Def.
je donja Darbuova suma;
je gornja Darbuova suma.

Stav.

Dokaz: Neka je superpozicija podela i ,
tada treba pokazati:

  1. Neki interval podele može da sadrži dve ili više podeone tačke podele .
    Neka je podeona tačka podele takva da .
    Tada sabirku sume odgovaraju dva sabirka , sume .
    i jer je infinum na celom intervalu, važi , odakle

    Slično za intervale sa više tačaka. Dakle, važi 1.
  2. . Odakle sledi 2.
  3. 3. je slično kao i 1.

Odakle,

  • je neprazan i ograničen odozgo sa
    — donji Rimanov integral.
  • je neprazan i ograničen odozdo sa
    — gornji Rimanov integral.

Važi .

Teorema (Definicija pomoću Darbuovih suma). Ako onda je taj broj Rimanov integral fje na , tj. .

Riman-integrabilnost funkcija i svojstva određenog integrala

Veza između određenog integrala i izvoda. Njutn-Lajbnicova formula

Metode integracije

Primene određenog integrala