Potprsten i ideal

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Def. Neka su i komutativni prsteni sa jedinicom. Tada je potprsten sa jedinicom prstena ako važe:

Napomena: iz tih uslova sledi

Def. Neka je komutativan prsten sa jedinicom i je neprazan skup. je ideal u (oznaka ) ako važe:

Stav. Neka je ideal u . Tada .

Dokaz: zatvorenost iz drugog uslova;
asocijativnost se čuva;
neutral () iz trećeg uslova: ;
inverz elementa iz trećeg uslova:

Posledica (prethodnog stava i teoreme). Svaki ideal u je oblika

Def. Neka je komutativan prsten sa jedinicom i . Tada je glavni ideal generisan elementom .

Stav. Neka je prirodan broj. Tada svaki ideal u je glavni.

Dokaz: Neka je def sa .
je homomorfizam, koji je "na".
Neka je , tada
Na osnovu prethodne posledice
Sa jedne strane (jer je "na")
Sa druge strane
Konačno, , tj. je glavni ideal.

Def. Neka su i ideali komutativnog prstena sa jedinicom . Tada

Stav. Neka su i ideali komutativnog prstena sa jedinicom . Tada su , i ideali u

Dokaz: pokažemo , ostala dva se slično trivijalno dokazuju.
Jer su i operacije, .

Za
jasno je da

Za i
imamo da

Stav. Neka je polje i . Tada ili ili .

Dokaz: Neka je polje i .
je polje tj.
Kako , , a za njega
Iz trećeg uslova i
dobijamo , tj.

Kongruencija po idealu

Def. . Na definišemo relaciju kongruencije po idealu sa

Napomena: umesto pišemo u prstenu celih brojeva.

Stav. Upravo definisana relacija je relacija ekvivalencije.

Dokaz:
Refleksivnost. Kako
Simetričnost.
Tranzitivnost.

Slaganje sa . Neka

Slaganje sa . Neka

Klasa ekvivalencije elementa je .

Skup klasa ekvivalencije .
je komutativni prsten sa jedinicom, koji zovemo količnički prsten prstena po idealu . Operacije: