Površinski integral

#fax #math #a3 [deo analize]

Neka je površ regularno parametrizovana sa i neka je podela sa istaknutim tačkama pravougaonika , koja je zadata tačkama .
Neka je

Proširimo na skup .
Sada je podela proširenja površi , koja je zadata tačkama su podeone tačke te podele i

, gde su istaknute tačke podele .

je podela sa istaknutim tačkama proširenja površi

Aproksimiramo površinu dela površi sa površinom koju određuju vektori i tj. sa

Def. Neka je , a je proširenje fje na , pri tome za svako i neka je podela sa istaknutim tačkama proširenja površi . Zbir je integralna suma.

Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
čšš

Tada je površinski integral (prve vrste) fje po površi .

Teorema. Ako je , onda

Def. je element površine.

Napomena: svojstva dvostrukog integrala

Stav. i su neprekidni; . Tada važi

Stav. i su neprekidni; . Tada

Stav. je neprekidna; presek površi i je regularna kriva. Tada

Stav. je površina površi

Stav. je neprekidna. Tada

Def. Neka je površ parametrizovana sa , () i neka je podela sa istaknutim tačkama proširenja te površi. Neka je vektorsko polje, a je proširenje na , takvo da za svako .
Zbir je integralna suma ( je skalarni proizvod).

Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
čšš

Tada je površinski integral (druge vrste) fje po površi .

Teorema. Neka je površ parametrizovana sa i neka je vektorsko polje. Označimo sa jedinični vektor normale na
Tada,

Stav. . Tada važi

Stav. Presek površi i je regularna kriva. Tada

Površ možemo orijentisati na dva načina: ako je vektor normale i ako je vektor normale . Površ orijentisanu suprotno od površi označavamo sa , tada