Primene određenog integrala

#fax #math #a2 [deo poglavlja "određeni integral"]

Površina figure između dve krive

Teorema. Neka su neprekidne, takve da .

Figura ograničena sa i na intervalu je

Tada je površina te figure jednaka

Dužina krive

Teorema. Neka je takva da .
Tada je dužina krive jednaka

Dokaz: Neka je podela intervala
Rastojanje između tačaka i je

Iz Lagranžove teoreme:

Uzimamo kao podeone tačke podele.

Dužina krive:

Limes postoji jer je neprekidna a samim tim i Riman-integrabilna.

Teorema. Neka je funkcija koja je zadata parametarski i neka važi .
Tada je dužina krive jednaka

Zapremina tela dobijenog rotiranjem krive

Teorema. Neka je pozitivna i važi .
Tada je zapremina tela dobijenog rotiranjem krive oko ose jednaka

Dokaz: Neka je podela sa istaknutim tačkama intervala .
Zapremina na svakom od intervala bi bila otprilike jednaka površine kruga sa poluprečnikom pomnožene dužinom intervala:

Zapremina tela:

Limes postoji jer je neprekidna a samim tim i Riman-integrabilna.

Teorema. Neka je funkcija koja je zadata parametarski i neka važi .
Tada je zapremina tela dobijenog rotiranjem krive oko ose jednaka

Površina omotača tela dobijenog rotiranjem krive

Teorema. Neka je takva da .
Tada je površina omotača tela dobijenog rotiranjem krive oko ose jednaka

Dokaz: Neka je podela sa istaknutim tačkama intervala .
Površina na svakom od intervala bi bila otprilike jednaka površine omotača zarubljene kupe sa poluprečnicima , i izvodnice sa dužinom :

U teoremi u kojoj se izvodi dužina krive definisali smo i izrazili sa:

Površina omotača tela:

Zbog neprekidnosti iz teoreme o međuvrednosti:

Limes postoji jer je neprekidna a samim tim i Riman-integrabilna.

Teorema. Neka je funkcija koja je zadata parametarski i neka važi .
Tada je dužina krive jednaka