Primitivni koren

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Teorema. Neka je polje, a je konačna podgrupa grupe . Tada je ciklična.

Dokaz:
Preformulišemo stav za operaciju :
Ako u Abelovoj grupi reda za svako , koje deli , postoji najviše elemenata takvih da , onda je ciklična.

Neka je podgrupa grupe reda .
Kako polinom ima najviše korena u , ispunjen je uslov preformulisanog stava.

Stoga je ciklična za prost broj (*).

Def. Svaki generator grupe zove se primitivni koren po modulu .

Stav. Neka je primitivni koren po modulu . Tada je sledeća funkcija izomorfizam:
def. sa .
(stepen se odnosi na operaciju )

Napomena 1: Funkcija slična je funkciji u polju .
Napomena 2: Tražimo neki primitivni koren po modulu prebrojavanjem, treba da važi

Dokaz:
Kako ima elemenata i kako
jeste funkcija

homomorfizam: da li ?
neka . Tada .
Polaznu jednačinu možemo prepisati kao

što sledi iz male Fermaove teoreme.

"na": za
"1-1":

Rešavanje kongruencija oblika: — prost.
Nađemo primitivan koren po modulu (napomena 2).
Primenjujemo na kongruenciju i dobijamo
, gde je
Nalazimo rešenje kongruencije pa ubacujemo u i tako nalazimo