Raširenja polja

#fax #math #alg [deo poglavlja "prsten"]

Prsten polinoma

Skup svih polinoma sa koeficijentima u komutativnom prstenu sa jedinicom u sa neodređenom je uz operacije i čini komutativan prsten sa jedinicom:


  • za i gde je operacija u .

  • gde su i operacije u .


Stav. Sa definisan je homomorfizam .

Def. Neka je polje. Polinom je nerastavljiv nad poljem , ako
— stepena bar jedan

Teorema. Neka je polje i neka je nerastavljiv polinom. Tada za važi:

  • je polje
  • sadrži potpolje izomorfno polju
  • ima bar jednu nulu u
  • dimenzija vektorskog prostora nad poljem je jednaka stepenu polinoma .

Dokaz:
Označimo ideal u prstenu sa ,
tada .
jeste komutativan prsten sa jedinicom (*).

  • Pokazati da svaki nenula element ima inverz:
    . Za naći inverz
    Jer ,
    i kako je nerastavljiv, .
    Tada
    Prelazimo na :
    Kako je , dobijamo
    Tj. je inverz od .

  • Neka je fja def. sa , koja jeste homomorfizam.
    Kako je ideal i kako ideal polja je ili ili celo polje, važi ; stoga je "1-1".
    Tada

  • Neka je polinom nad ,
    i neka . Tada

  • Kako , čini vektorski prostor.
    Pokažemo da je dimenzija jednaka stepenu polinoma , da je baza tog VP ( je stepen polinoma ).

    Da li je to skup generatora?
    Za bilo koji
    stepen polinoma je strogo manji .

    Tada

    Da li je to linearno nezavisan skup?
    Neka nije:
    Neka
    Tada imamo ,
    je stepena , a stepena generiše . Kontradikcija.


Def. Ako polje sadrži potpolje izomorfno polju , onda kažemo da je polje raširenje polja .
Tada je vektorski prostor nad , a dimenziju raširenja zovemo stepen raširenja, koju označavamo sa .

Konstruisanje polja sa elemenata, gde je prost i :
Nađemo nerastavljiv polinom stepena .
Tada je VP dimenzije nad , tj. ima elemenata.
A iz prethodne teoreme znamo da je to polje.


Posledica. je polje i . Tada postoji raširenje polja u kojem se faktoriše na linearne faktore.

Def. Neka je polje i . Korensko polje polinoma je najmanje raširenje polja u kojem se faktoriše na linearne faktore.

Algebarska raširenja

Def. Neka je potpolje do . Tada je algebarski nad ako postoji polinom za koji .

Stav. Neka je pole. Tada je svaki ideal u glavni.

Stav. Neka je potpolje od i . Tada je polje akko je algebarski nad .

Dokaz:
Neka je polje.
Tada i element ima inverz:
za
Stoga , tj. je traženi polinom.

Kako je algebarski nad , skup nije prazan.
jeste ideal u , jer ; odakle i .

Iz prethodnog stava č

je nerastavljiv, jer u suprotnom , onda ; kako je polje, ili ili ; neka je to . Tada , stoga deli , ali je manjeg stepena, kontradikcija.

Posmatrajmo sad homomorfizam def. sa
Jasno je da je "na" i da je .
Tada po teoremi o izomorfizmu ,
a je polje iz stava važi da je polje.
Konačno smo dobili da je polje.


Def. Raširenje polja je algebarsko ako je svaki element iz algebarski nad .

Stav. Svako konačno raširenje (konačnodimenzioni VP) je algebarsko.

Stav. Svako konačno raširenje polja je oblika .