Red grupe i elementa. Indeks podgrupe

#fax #math #alg [deo poglavlja "grupa"]

Def. Ako je konačna grupa, onda broj njenih elemenata zovemo red grupe i označavamo sa . Ako je grupa beskonačna, kažemo da je ona beskonačnog reda.

Def. Neka je element neke grupe. Ako postoji za koji važi , onda je red elementa jednak , inače je beskonačnog reda.

Stav. Red bilo kojeg elementa grupe je jednak redu podgrupe generisane tim elementom.

Dokaz: Neka je podgrupa generisana elementom .

Ako je beskonačnog reda, važi
Da li neke za neke može važiti ?
Pomnožimo jednačinu sa , imamo , pri tome . Kontradikcija, važi da su sve različite za različite , stoga ima beskonačno mnogo elemenata.

Ako je reda , tj. i
Stoga,
Imamo,
Da li taj skup sadrži ponavljajuće elemente? Pretpostavimo da za neke važi , tj. ,
, kontradikcija jer je najmanji broj za koji važi .
Dakle, skup ne sadrži ponavljajuće elemente i samim tim je red jednak .


Stav. Neka je reda . Tada


Stav. Neka je .
Ako je beskonačnog reda, onda je i beskonačnog reda;
ako je reda , onda je reda .

Dokaz:
je beskonačnog reda, tj.
Odakle , tj. je beskonačnog reda.

je reda . Neka je , tada
i , pri tome
Pokazati da je reda .
, da li je najmanji ()-broj za koji to važi?
pps: neka je — najmanji broj za koji to važi.
tada

i , kontradikcija. jeste najmanji.


Teorema.

  1. Svaka podgrupa ciklične grupe i sama je ciklična.
  2. je ciklična grupa reda . Tada

Dokaz:

  1. Neka je i .
    jeste ciklična, razmatramo proizvoljnu .
    Neka je . Pokazati da .

    pps , tj.


    Tada , jer
    Jer je najmanji pozitivan broj za koji , a , sledi da , tj.
    . Kontradikcija

  2. Neka je reda i .
    iz stava je reda
    , pretpostavimo da postoji i druga podgrupa reda odlična od .
    iz 1. je ciklična, tj. .
    (jer je reda )
    a je reda (), imamo da
    iz dobijamo da , tj , za neko .
    , odakle i kako važi da .
    Kontradikcija.
    je jedinstvena podgrupa reda .


Teorema. Neka je grupa i su konačnog reda. Tada ako
i , onda

Dokaz:
Neka , , ,

, ,
Jer dobijamo

Konačno,


Teorema. Neka je grupa i takvi da

  • Ako je konačnog reda a beskonačnog, onda je beskonačnog reda.
  • Ako su i i beskonačnog reda i , onda je beskonačnog reda.

Dokaz:

  • Neka . PPS je konačnog reda .
    , je konačnog reda. Kontradikcija. je beskonačnog reda.
  • PPS je konačnog reda .

    i su konačnog reda. Kontradikcija. je beskonačnog reda.

Veza između reda grupe i reda njenih podgrupa/elemenata

Def. Ako je i

  • Skup se zove levi koset podgrupe u grupi
  • Skup se zove desni koset podgrupe u grupi

Skup svih levih koseta grupe u se označava sa
Skup svih desnih koseta grupe u se označava sa

Napomena: u opštem slučaju važi kao i ;
u opštem slučaju bijekcija , stoga .


Stav.

Dokaz:

  1. Neka . Tada, jer je , važi , tj. , odakle

    Neka je .
    Pretpostavimo da je , odakle
    tj. . Analogno se dokazuje i , odakle .
  2. pps: važi i , tj.

    odakle . Kontradikcija.


Def. je grupa, .

  • Ako je skup beskonačan, onda je podgrupa beskonačnog indeksa u .
  • Ako je skup konačan, onda je indeks podgrupe u jednak veličine tog skupa. Oznaka

Stav. je grupa, . Tada je disjunktna unija različitih levih koseta podgrupe .

Teorema (Lagranžova). je konačna grupa, . Tada
(odakle red podgrupe deli red grupe )

Dokaz:
Iz prethodnog stava , gde su svi različiti, a .
i jer za bilo koje ,
važi da


Posledica. Red svakog elementa konačne grupe deli red te grupe.

Posledica. Svaka grupa prostog reda je ciklična (tj. izomorfna ).

Posledica. Ako je konačna grupa, onda

Ojlerova teorema


Teorema (Košijeva). je konačna grupa, je prost broj, koji deli . Tada

Dokaz: Neka je neka ciklična grupa reda .
I neka je . Tada
, jer mogu biti bilo koji, a .
Stoga .

Zadajemo dejstvo na sa
(iz definicije pojma dejstva je jasno da je za cikličnu grupu dovoljno zadati dejstvo generatora);
Da li je ?


Stoga je dejstvo dobro definisano.

Iz posledice znamo

Zapravo orbita nekog elementa je sve ciklične permutacije -torke:

Imamo da je disjunktna unija različitih orbita.

Ako je jedina jednočlana orbita imamo:
(više je dokazano ),
što nije tačno; dakle, postoji jednočlana orbita različita od ;
neka je ta orbita , tada
,
odakle označimo sa ;
(jer je )
je traženi element reda .


Stav.

  • Svaka grupa reda 4 izomorfna je ili grupi ili grupi
  • Svaka grupa reda 6 izomorfna je ili grupi ili grupi
  • Svaka grupa reda 8 izomorfna je jednoj od grupa:
    , , , ,
  • Svaka grupa reda 9 izomorfna je ili grupi ili grupi
  • Svaka grupa reda 10 izomorfna je ili grupi ili grupi