Riman-integrabilnost funkcija i svojstva određenog integrala

#fax #math #a2 [deo poglavlja "određeni integral"]

Riman-integrabilnost nekih klasa funkcija

Teorema (Kriterijum Riman-integrabilnosti). ograničena fja. Tada

Dokaz: Neka je
Iz definicija supremuma i infinuma:

Neka je superpozicija i , tada

Odakle,

Pretpostavimo .

Treba naći , takav da .

Odakle, .


Teorema. je (deo po deo) neprekidna. Tada

Teorema. je monotona. Tada

Dokaz: neka nije konstantna.
Tada . Tj je ograničena.

Da bismo dokazali integrabilnost pomoću teoreme, za proizvoljno treba naći takvu da .


(postoje zbog ograničenosti)

Konačno,


Teorema. je ograničena i ima konačan skup tačaka prekida. Tada

Teorema. su -integrabilni i razlikuju se na konačnom skupu tačaka. Tada

Svojstva određenog integrala

Stav. ; . Tada i važi

Dokaz:

  1. Dokazati: i

Neka je proizvoljna podela sa istaknutim tačkama intervala .
Tada,

Odakle,


  1. Za dokazati: i

Neka je proizvoljna podela sa istaknutim tačkama intervala .
Tada,

Odakle,


Stav. . Tada

Stav. , . Tada

Stav. Važe:


  • za
  • za


Stav. .
Tada

Dokaz:
Neka je proizvoljna podela sa istaknutim tačkama intervala .
Tada,

Odakle,


Posledica 1. . Tada

Dokaz: i

Tada,


Posledica 2. . Tada

Dokaz:

Predstavljanje određenog integrala proizvodom


Stav. . Tada

Dokaz:


Stav. . Tada

Dokaz:

š

Iz prethodnog stava
đ