Sistem linearnih jednačina

#fax #math #laag [deo linearne algebre]

Def. Sistem linearnih jednačina u promenljivima je:

Kraće:

Matrični oblik: , gde

— matrica sistema

Def. Proširena matrica sistema:

Rešenje sistema je svaka uređena -torka , takva da zamenom važi svaka jednačina u sistemu.

Kada je i je invertibilna rešenje je

Prelazak na LO:

i su VP nad ,
je baza ,
je baza .
Tada , takav da .

Rešavanje sistema se svodi na određivanje , tada za svako pronađeno .

Teorema (Kroneker-Kapelijva) uslovi gore.
Sledeći iskazi su ekvivalentni:

  • sistem ima rešenja

Posledica. Ako (tj. ), sistem ima rešenja.

Def. Sistem je Kramerov ako

Teorema. Kramerov sistem uvek ima jedinstveno rešenje:
gde je

Homogeni sistem , :

  • Skup rešenja je jezgro LO :
    Ako je baza , tada je svako rešenje sistema oblika
  • Ima bar jedno rešenje — trivijalno rešenje.
  • netrivijalno rešenje

Nehomogeni sistem :
Svakom nehomogenom sistemu pridružen je homogeni: .

Teorema. Ako onda svako rešenje sistema je oblika: ,

gde je baza ,
i je neko rešenje tj.

Gausova metoda rešavanja sistema

Napomena: elementarne transformacije

Ako , sistem nema rešenja.

Ako , sistem ima rešenja.
,

Rešenja su:

su slobodni parametri.
Dimenzija skupa rešenja je .


je partikularno rešenje
su rešenja homogenog sistema