Stepeni red

#fax #math #a2 [deo poglavlja "funkcionalni red"]

Def. Neka je niz brojeva i . Tada se funkcionalni red naziva stepeni red.

Za stepeni red ima oblik

Jasno je, ravnomerno/TPT konvergira ka na akko ravnomerno/TPT konvergira ka na .


Stav. Ako stepeni red

  • konvergira za onda on apsolutno konvergira za svako takvo da
  • divergira za onda on divergira za svako takvo da

Dokaz:

Važi:

I jer konvergira za iz teoreme sledi prvo tvrđenje.

.
Pretpostavimo suprotno, tj. postoji za koje važi i . Tada iz prvog tvrđenja za svako za koje važi (što važi i za ) red . Kontradikcija.


Def. Neka je skup vrednosti promenljive za koje red konvergira.
ako nije ograničen (tj. ) onda
inače je ograničen i
Tada je poluprečnik konvergencije stepenog reda .


Stav. Stepeni red apsolutno konvergira na i divergira na .

Dokaz: tvrđenje sledi iz definicije poluprečnika konvergencije i prethodne teoreme.


Teorema. Neka niz brojeva takav da važi jedno od tvrđenja:

Tada je poluprečnik konvergencije reda jednak

Dokaz:
Razmatramo konvergenciju reda za

Odakle imamo,
ako , red divergira za , tj.
ako , red konvergira za , tj.
ako , red konvergira za i divergira za , tj

Svojstva stepenih redova

Stav. Za red ravnomerno konvergira na .

Dokaz: kako i kako brojevni red konvergira (jer ) iz Vajerštrasova kriterijuma sledi tvrđenje.

Posledica. Neka je stepeni red sa poluprečnikom konvergencije . Tada za svako važi

Štaviše, poluprečnici redova i su jednaki

Dokaz:
. Tada polazni red (kao i red ) ravnomerno konvergira na . Odakle, pomoću stavova o svojstvima ravnomerno konvergentnih funkcionalnih redova (0, 1, 2) dobijamo tvrđenja.

Poluprečnici:
Pod pretpostavkom da važi .
Tada

Pod pretpostavkom da važi .
Tada


Teorema (Abelova). Ako je i ako red konvergira, onda red ravnomerno konvergira na i važi


Stav. Neka je stepeni red sa poluprečnikom konvergencije i neka je definisana sa . Tada .


odakle,

Tejlorov red

Napomena: Tejlorov polinom

Def. Neka je takva da i neka je . Tada stepeni red je Tejlorov red funkcije u tački . (Maklorenov red funkcije ako ).

Napomena: Tejlorov red može da konvergira kao i divergira na nekim delovima . Iako konvergira na nekom intervalu, ne mora da konvergira ka


Stav. Neka je takva da . Tada
,
gde je ostatak Tejlorovog (Maklorenovog) polinoma

Dokaz: levi deo ekvivalencije prepišemo kao
,
gde je Maklorenov polinom fje , odnosno parcijalna suma Maklorenovog reda.

Tada ekvivalencija sledi iz jednačine


Stav. Neka je takva da . Tada ako
onda

Dokaz:
Lagranžov oblik ostatka Maklorenovog polinoma:
gde je između i .

Tada, za svako postoji za takvo is pretpostavke tako da važi (jer )

Imamo,

Kako iz teoreme o dva policajaca važi .

Maklorenov red osnovnih funkcija:

Dokaz: Maklorenove redove navedenih fja dobijamo iz Maklorenovih polinoma fja. Razmotrimo tačka po tačku konvergenciju redova:



  • iz prethodna dva stava red TPT konvergira ka na
  • za i slično, pri tome

  • Nađemo poluprečnik konvergencije reda (za ):

    Odakle red konvergira za


  • sa istim poluprečnikom .
    za konvergira po Lajbnicovu kriterijumu,
    za imamo divergira