Svojstva ravnomerno konvergentnih funkcionalnih redova

#fax #math #a2 [deo poglavlja "funkcionalni red"]

Stav. Neka je niz funkcija i neka je ograničena funkcija (). Tada

Dokaz:
Neka je niz parcijalnih suma reda
i neka je niz parcijalnih suma reda

je ograničena

(Košijev kriterijum)

Tada,
iz Košijevog kriterijuma

Stav (limes funkcionalnog reda). Neka je niz funkcija i neka je tačka nagomilavanja skupa . Tada ako važi:

onda brojevni red i važi

Dokaz: Neka je
neka je niz parcijalnih suma reda
i neka je niz parcijalnih suma reda

Tada,

Iz ravnomerne konvergencije reda (Košijev kriterijum) imamo

Iz Košijevog kriterijuma red

Neka
i neka

Dokazati da

, tada za važi:

tj.

Posledica (neprekidnost funkcionalnog reda). Neka je niz neprekidnih u tački funkcija. Tada

Teorema (integracija funkcionalnog reda). Neka je niz neprekidnih na funkcija i neka je . Tada

i važi

Dokaz:
Neka je niz prefiksnih suma reda
i neka je niz prefiksnih suma reda

Jer iz prethodne posledice dobijamo da definisana sa neprekidna na . Stoga,

Dokazati da red ravnomerno konvergira ka na tj.

Stav (diferenciranje funkcionalnog reda). Neka je niz funkcija, takvih da . Tada ako važi:

$č č$

onda i važi

Dokaz: Neka je i neka
(iz posledice )

Iz prethodnog stava

Jer je imamo , i samim tim