Tejlorov polinom funkcije više promenljivih

#fax #math #a3 [deo poglavlja "parcijalni izvod"]

Napomena: Tejlorov polinom funkcije jedne promenljive

Def. , ima sve parcijalne izvode do reda , koje su neprekidni. Tejlorov polinom funkcije u stepena je



Def. Ostatak Tejlorovog polinoma funkcije u stepena je

Teorema (Peanov oblik ostatka). ima sve parcijalne izvode do reda , koje su neprekidne. Tada

Dokaz:
Neka je i neka je takva da

Nađemo Tejlorov polinom stepena funkcije u i njegov Lagranžov ostatak:
,
za neko između i .

odakle indukcijom se dobija:

Da li ?
Tj. treba pokazati da sledeći limes jednak :

Iz neprekidnosti parcijalnih izvoda: