Trostruki integral

#fax #math #a3 [deo analize]

Def. Neka su , i . Skup kvadara je podela kvadra .

. Tada su
istaknute tačke podele .

Def. — podela sa istaknutim tačkama pravougaonika

Neka je ograničen (tj. )
Neka je , gde je č
Tada je zapremina skupa jednaka ako

Def. Neka je i podela sa istaknutim tačkama kvadra . Zbir je integralna suma.

Def. Neka je . je limes integralnih suma kad ako
č

Tada je trostruki integral fje na .

Ako postoji trostruki integral (odnosno limes), je integrabilna na ().

Napomena: svojstva određenog integrala

Stav. Ako nije ograničena na onda

Teorema. je ograničena i njen skup tačaka prekida je zapremine nula. Tada

Teorema (Fubinijeva na kvadru). Neka je neprekidna (). Tada važi
(u bilo kom redosledu integriranja)

Def. Skup je merljiv ako je zapremina njegovog ruba jednaka nuli, .

Karakteristična funkcija merljivog skupa , je integrabilna.

Def. Neka je merljiv i je integrabilna na , tada je integrabilna na i važi

Stav. ; . Tada i važi

Stav. ; . Tada

Stav. , , . Tada

Stav.

Stav.

Teorema (Fubinijeva na oblasti). Neka je neprekidna i neka je . Tada važi

(analogno važi i za druge oblasti sa drugačijem redosledom zavisnosti , , )

Teorema (opšta smena). Neka smena slika merljiv skup u merljiv skup , ima sve parcijalne izvode na , ima sve parcijalne izvode na i . Tada

Teorema (cilindrička smena). Neka cilindrička smena
slika merljiv skup u merljiv skup , . Tada

Teorema (sferna smena). Neka sferna smena
slika merljiv skup u merljiv skup , . Tada