Unitarni prostor. Euklidski prostor

Def. Vektorski prostor nad poljem je unitaran ako je definisana funkcija za koju važi:

SP1)
SP2)
SP3)
SP4)
SP5)

se zove skalarni proizvod na .

Dodatna svojstva:

SP1') (iz SP1 i SP3)
SP2') (iz SP2 i SP3)

Def. Vektorski prostor nad poljem je Euklidski (pred-Hilbertov) ako je definisana funkcija za koju važe SP1-SP5 (SP3 bez konjugovanja)

Primeri unitarnih prostora

— standardni skalarni proizvod.
,
— skalarni proizvod.
,
— skalarni proizvod.
Za važi , tada
— skalarni proizvod.

Norma i ugao

Def. Norma je funkcija def. sa

Teorema (Koši-Švarcova nejednakost).
, je unitarni prostor. Tada

Odakle:

Def. Kosinus ugla između :

Teorema (nejednakost Minkovskog).
, je unitarni prostor. Tada

Ortogonalnost

Def. je unitaran prostor. su ortogonalni (normalni) ako .
Oznaka:

,
je jedinstven element za koji to važi.

Def. , je unitarni prostor. Tada je ortogonalan (normalan) na ako
Oznaka:

Def. Skup je ortogonalan ako .

Stav. Ortogonalan skup je linearno nezavisan.

Ortonormirana baza

Def. Baza unitarnog prostora je ortonormirana ako
tj važe:

je ortogonalan skup.

Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije:

je unitaran prostor.

U -tom ( ) koraku važi

Koraci: ( )

1.

2.

3.

k.

Oduzimamo od narednog vektora sve njegove projekcije na vektore već ortonormiranog dela baze, pa ga normiramo.

Dokaz: ( je ortonormirana)
Očigledno,
Pokazati da je ortogonalan:

indukcija po broju vektora:
baza: je ortogonalan
korak: ako je ortogonalan, onda

je ortogonalan.

Neka je ortonormirana baza unitarnog prostora i . Tada

Odakle:

Def. zovu se Furijeovi koeficijenti vektora u bazi .

Teorema. je ortonormirani skup unitarnog prostora . Tada

Beselova nejednakost:

Specijalno, ako je baza od važi jednakost.
Parservalova jednakost
je baza od

Gramova matrica

Ortogonalni komplement

Napomena: potprostor

Def. je unitaran prostor, . Tada skup je ortogonalni komplement od u .

Stav. je unitaran prostor, . Tada

je jedinstven

Izomorfnost unitarnih prostora

je unitarni prostor sa skalarnim proizvodom
je unitarni prostor sa skalarnim proizvodom

Def. Operator čuva skalarni proizvod, ako

Teorema. su unitarni prostori. Operator koji čuva skalarni proizvod je linearni operator.

Def. Dva unitarnih prostora i su izomorfna ako postoji tako da:

čuva skalarni proizvod
je bijekcija